قطب (تحليل مركب)

  لمعانٍ أخرى، طالع قطب (توضيح).

في التحليل المركب، قطب (بالإنجليزية: Pole)‏ دالة جزئية الشكل هو نوع ما من خصوصية تتصرف كما تتصرف خصوصية الدالة ${\displaystyle {\frac {1}{z^{n}}}}$ عندما يكون z مساويا للصفر.^[1] إذا كان a قطبا لدالة ما (f(z، فإن هذه الدالة تؤول إلى ما لا نهاية له عندما يقترب z من a.

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوي المركب C وليكن a عنصرا من U ولتكن f دالة f : U \ {a} → C، حيث f دالة تامة الشكل على نطاقها. إذا وجدت دالة g تامة الشكل g : U → C حيث (g(a مختلف عن الصفر، ووجد عدد صحيح موجب n حيث يتوفر ما يلي مهما كان z في {U \ {a:

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$

فإن a يسمى قطبا للدالة f.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{h(z)}}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\,\geq \,0}a_{k}(z-a)^{k}.}$

• الدالة

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

لها قطب من الدرجة الأولى 1 (قطب بسيط) عند ${\displaystyle z=0}$.

• الدالة

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

لها قطب من الدرجة الثانية عند ${\displaystyle z=5}$ وقطب من الدرجة الثالثة عند ${\displaystyle z=-7}$.

• الدالة

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

لها أقطاب من الدرجة الأولى 1 عند ${\displaystyle z\,=\,2\pi ni{\text{ for }}n\,=\,\dots ,\,-1,\,0,\,1,\,\dots .}$ من أجل مشاهدة ذلك، اكتب ${\displaystyle e^{z}}$ على شكل متسلسلة تايلور حول أصل المعلم.

• الدالة

${\displaystyle f(z)=z}$

له قطب وحيد عند ما لا نهاية له، وهو من الدرجة الأولى.

• جذر دالة (تحليل مركب)
• نظرية التحكم
• راسب (تحليل مركب)

هذه بذرة مقالة عن التحليل الرياضي بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.