Paradoxo de Russell

O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética^[1] pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902.^[2] Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num posfácio,^[1] mas Russell o publicou antes^[2] no seu livro Princípios das Matemáticas.^[3] Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert,^[4] e permaneceu conhecida apenas por David Hilbert, Edmund Husserl, e outros acadêmicos na Universidade de Göttingen. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares. No final da década de 1890, Georg Cantor―considerado o fundador da moderna teoria dos conjuntos―já havia percebido que sua teoria levaria a uma contradição, o que ele contou a Hilbert e Richard Dedekind por carta.^[5]

Formulação matemática

Considere que o conjunto M é: "o conjunto de todos os conjuntos que não possuam a si próprios como elementos". Se todos os conjuntos estão formando o outro conjunto, então ele não pode ser um conjunto, daí surge o paradoxo: não existe conjunto de todos os conjuntos, nem classe de todas as classes. Quando se diz que a classe está dentro de todas as outras, então se diz que ela é maior que ela mesma (absurdo) formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.

M=\{A\mid A\not \in A\}

,

No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.

No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.

Aplicações

O paradoxo do barbeiro, semelhante na formulação ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude. Alan Turing provou a indecidibilidade do problema da parada usando o mesmo paradoxo.

Ver também

Referências

↑ ^a ^b FREGE, Gottlob (1893–1903). Grundgesetze der Arithmetik (em alemão). Jena: Hermann Pohle. pp. 253−265
↑ ^a ^b HEIJENOORT, Jean van (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pp. 124−125
↑ RUSSELL, Bertrand (1903). The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 101−107
↑ FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua (1958). Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdã: North Holland (Elsevier). p. 6
↑ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1985, ISBN 3-764-31770-1

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[FREGE-1] FREGE, Gottlob (1893–1903). Grundgesetze der Arithmetik (em alemão). Jena: Hermann Pohle. pp. 253−265

[HEIJENOORT-2] HEIJENOORT, Jean van (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pp. 124−125

[3] RUSSELL, Bertrand (1903). The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 101−107

[4] FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua (1958). Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdã: North Holland (Elsevier). p. 6

[5] Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1985, ISBN 3-764-31770-1

[1]

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