Russellen paradoxa

Russellen paradoxa Bertrand Russellek proposaturiko paradoxa bat da, Cantorrek eta Fregek aurkeztutako multzoen jatorrizko teoria kontraesankorra dela frogatzen du.

Demagun euren multzoaren parte diren multzoen adibideak. Adibide bat "ideia abstraktuez" osatutako multzoa da. Multzoa bere multzoaren kide da, multzoa bera ideia abstraktua baita. Beste adibide bat diruz beteriko poltsak dituen poltsa da. Bestalde, "liburuz" osatutako multzo bat ez da bere buruaren parte, multzoa bera ez baita liburua. Russellek galdetu zuen (Fregeri 1902an idatzitako gutunean) ea bere baitan ez dauden multzoen multzoa (hau da, bere baitan sartuta ez dauden multzo guztiak biltzen dituen multzoa, aurreko adibideko "liburuak", esaterako) bere baitan bilduta ote dagoen. Paradoxa honetan datza: bere buruaren parte ez bada, bere buruaren parte ez diren eta, beraz, bere buruaren parte diren multzo-motari dagokio. Hau da, bere buruaren parte izango da bakarrik bere buruaren parte ez bada.^[1]

Dei diezaiogun ${\displaystyle M_{}^{}}$ "kide gisa beren burua ez duten multzo guztien multzoari". Hau da:

(1) ${\displaystyle M=\{x:x\notin x\}}$

Cantorren multzoen teoriaren arabera, (1) ekuazioa honela adieraz daiteke:

(2) ${\displaystyle \forall x\qquad x\in M\iff x\notin x}$

Hau da, "multzo bakoitza bere buruaren ${\displaystyle M}$ osagaia da, bakarrik bere buruaren osagaia ez bada". Baina, multzo ${\displaystyle M}$ bat denez, (2) ekuazioan ${\displaystyle x}$ ordezka daiteke ${\displaystyle M}$rengatik, eta ekuazio horretatik hau lortzen da:

(3) ${\displaystyle M\in M\iff M\notin M}$

Hau da, ${\displaystyle M}$ izango da ${\displaystyle M}$ren elementu bat bakarrik ${\displaystyle M}$ elementua ez bada ${\displaystyle M}$ren parte, eta hori zentzugabea da.