Função iterada

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Em matemática, função iterada é uma função que é composta consigo mesma, em forma repetida, em um processo chamado iteração. As funções iteradas são objeto de profundos estudos no campo dos fractais e sistemas dinâmicos.

A definição formal de uma função iterada em um conjunto ${\displaystyle X}$ é:

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto e ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ uma função. Define-se o iterado ${\displaystyle n}$-ésimo ${\displaystyle f^{n}}$ de ${\displaystyle f}$ mediante ${\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}$ onde ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ é a função identidade em ${\displaystyle X}$, e ${\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}}$.

Na expressão prévia, ${\displaystyle f\circ g}$ indica uma composição de funções; que tem o valor, ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$.

A sequência de funções ${\displaystyle f^{n}}$ é chamada uma sequência de Picard, em homenagem a Charles Émile Picard. Dado um ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X}$, a sequência de valores ${\displaystyle f^{n}(x)}$ é denominada a órbita de ${\displaystyle x}$.

Se ${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)}$ para algum número inteiro ${\displaystyle m}$, então a órbita denomina-se órbita periódica. O menor número de ${\displaystyle m}$ para um dado ${\displaystyle x}$ é chamado o período da órbita. O ponto ${\displaystyle x}$ é chamado um ponto periódico.

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7

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