Decaimento exponencial

Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se ${\displaystyle p}$ representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é ${\displaystyle pN}$, em que ${\displaystyle N}$ é o número de átomos existentes em cada instante.^[1] O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {dN \over dt}=-pN}$

A massa dos correspondentes átomos, ${\displaystyle x}$, é diretamente proporcional a ${\displaystyle N}$ e assim obtemos a seguinte equação diferencial

${\displaystyle {dx \over dt}=-px}$

onde ${\displaystyle p}$ é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero

${\displaystyle x=Ce^{-pt}}$

e a solução única para a condição inicial ${\displaystyle x=x_{0}}$ no instante inicial é (figura ao lado)

${\displaystyle x=x_{0}e^{-pt}}$

A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos

${\displaystyle 0,\!5=e^{-pt}\qquad t={\frac {\ln 2}{p}}}$

Quanto maior for a constante de decaimento ${\displaystyle p}$, mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de ${\displaystyle \mathrm {C} _{14}}$ em relação ao ${\displaystyle \mathrm {C} _{12}}$ de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação ${\displaystyle \mathrm {C} _{14}/\mathrm {C} _{12}}$ nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem ${\displaystyle \mathrm {C} _{14}}$ como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em ${\displaystyle \mathrm {C} _{14}}$ pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.^[1]

Referências