Ułamek

Ułamek – wyrażenie arytmetyczne lub algebraiczne postaci ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są dowolnymi wyrażeniami tego typu. Wielkość ${\displaystyle a}$ jest znana jako licznik, ${\displaystyle b}$ jako mianownik^[1], a oddzielającą je linia jako kreska ułamkowa. Wartością ułamka jest iloraz licznika przez mianownik, dlatego wartość ta istnieje tylko dla mianowników różnych od zera – dzielenie ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ nie jest określone.

Podstawowy typ ułamków to ułamki zwykłe – ich liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi^[2]. Są to zapisy (reprezentacje) liczb wymiernych^[1]. Wyróżnia się kilka rodzajów ułamków zwykłych jak właściwe, niewłaściwe, skracalne i nieskracalne, opisane dalej. Do ułamków zwykłych czasem zalicza się:

• ułamki dziesiętne, które są jednak zapisywane bez kreski ułamkowej^[1][3], jako dwa ciągi cyfr rozdzielone separatorem dziesiętnym;
• procenty, promile i tym podobne zapisy stosunków bezwymiarowych;
• ułamki egipskie, przy czym ten termin ma różne znaczenia.

Ułamki zwykłe są rozważane od starożytności, a ułamki dziesiętne z zapisem pozycyjnym upowszechniły się w nowożytności^[1]. Ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty stały się tematem nauczanym w szkołach podstawowych, np. w Polsce w XXI wieku są częścią podstawy programowej klas IV–VIII^[4].

W arytmetyce oprócz ułamków zwykłych wyróżnia się też:

• ułamki mieszane, czyli sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego^[1];
• ułamki piętrowe, gdzie licznik i mianownik same są ułamkami^[1];
• ułamki łańcuchowe – sumy liczby całkowitej i ułamka, którego licznik jest jedynką, a mianownik innym ułamkiem łańcuchowym.

W algebrze rozważa się między innymi ułamki zbudowane z wielomianów – wyrażenia wymierne. Operowanie na nich jest wymagane w polskich szkołach średnich, także w zakresie podstawowym^[5]. Algebra wyższa bada między innymi ułamki zbudowane z bardziej ogólnych, abstrakcyjnych obiektów jak elementy innych pierścieni całkowitych^[1] – zbiorów z działaniami dodawania, odejmowania i mnożenia o odpowiednich własnościach.

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności^[6], a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa^[7]. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. ${\displaystyle 1+{\tfrac {2}{3}}}$ staje się ${\displaystyle 1{\tfrac {2}{3}}.}$

Dla każdego ${\displaystyle c\neq 0}$ ułamek ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ jest równy ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}$ Operację zamiany ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ na ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}$ nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}},\quad {}}$ na przykład: ${\displaystyle {\frac {2}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{45}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Przedstawienie liczby ${\displaystyle k}$ w postaci ułamka ${\displaystyle {\tfrac {k}{1}}}$ prowadzi do wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot k={\frac {ak}{b}},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:k={\frac {a}{bk}}.}$

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{m}}+{\frac {b}{m}}={\frac {a+b}{m}},\qquad {\frac {a}{m}}-{\frac {b}{m}}={\frac {a-b}{m}}.}$

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Liczba ${\displaystyle bd}$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle d.}$

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

${\displaystyle {\frac {450}{3150}}={\frac {450:50}{3150:50}}={\frac {9}{63}}={\frac {9:9}{63:9}}={\frac {1}{7}}}$

Wzór:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}}={\frac {d:f}{e:f}}={\frac {g}{h}}}$ lub można skrócić na ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}},}$ gdzie ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle e\neq 0,}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ oraz ${\displaystyle h\neq 0.}$

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać ${\displaystyle {\frac {1}{a}},}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0.}$

Przykład: Ułamek ${\displaystyle {\frac {9}{40}}}$ jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek^[8], na przykład 5% to ${\displaystyle {\tfrac {5}{100}}}$

Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × ​${\displaystyle {\tfrac {5}{100}}}$ = 50 zł

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Dla każdego pierścienia całkowitego ${\displaystyle P}$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli ${\displaystyle xy=0}$ dla niezerowych ${\displaystyle x,y\in P,}$ to

${\displaystyle [1,1]\sim [x,x]=[x,1]\cdot [1,x]\sim [xy,y]\cdot [1,x]=[0,y]\cdot [1,x]\sim [0,1]\cdot [1,x]=[0,x]\sim [0,1],}$

czyli

${\displaystyle [1,1]\sim [0,1],}$

stąd zaś dla dowolnego

${\displaystyle [a,b]=[a,b]\cdot [1,1]\sim [a,b]\cdot [0,1]=[0,b]\sim [0,1],}$

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa ${\displaystyle [0,1],}$ a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. ${\displaystyle 3/4;}$ jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}.}$

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

Nazwa	Znak	Unicode	Kod HTML
Jedna czwarta	¼	U+00BC	¼ lub ¼
Jedna druga	½	U+00BD	½ lub ½
Trzy czwarte	¾	U+00BE	¾ lub ¾
Jedna siódma	⅐	U+2150	⅐ lub ⅐
Jedna dziewiąta	⅑	U+2151	⅑ lub ⅑
Jedna dziesiąta	⅒	U+2152	⅒ lub ⅒
Jedna trzecia	⅓	U+2153	⅓ lub ⅓
Dwie trzecie	⅔	U+2154	⅔ lub ⅔
Jedna piąta	⅕	U+2155	⅕ lub ⅕
Dwie piąte	⅖	U+2156	⅖ lub ⅖
Trzy piąte	⅗	U+2157	⅗ lub ⅗
Cztery piąte	⅘	U+2158	⅘ lub ⅘
Jedna szósta	⅙	U+2159	⅙ lub ⅙
Pięć szóstych	⅚	U+215A	⅚ lub ⅚
Jedna ósma	⅛	U+215B	⅛ lub ⅛
Trzy ósme	⅜	U+215C	⅜ lub ⅜
Pięć ósmych	⅝	U+215D	⅝ lub ⅝
Siedem ósmych	⅞	U+215E	⅞ lub ⅞
Jedna ...	⅟	U+215F	⅟ lub ⅟

Zobacz hasło ułamek w Wikisłowniku

• proporcja

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fraction, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Fraction (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].