Przestrzeń Focka

Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ – przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ oraz jej iloczynów tensorowych ${\displaystyle {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}},}$ itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:

• pełną przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
• symetryczną (dla bozonów),
• antysymetryczną (dla fermionów).

Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.

W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako zmienne losowe^[1].

Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Focka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932^[2] dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka^[3].

Niech ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in {\mathcal {H}}}$ oraz ${\displaystyle S_{n}}$ oznacza grupę permutacji zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}$

Definicja 1.

Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ nazywamy element przestrzeni tensorowej ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}={\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}},}$ taki że

${\displaystyle u_{1}\vee u_{2}\vee \ldots \vee u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)}}$

Definicja 2.

Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ nazywamy element przestrzeni tensorowej ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}={\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}},}$ taki że

${\displaystyle u_{1}\wedge u_{2}\wedge \ldots \wedge u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma }u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)},}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ – znak permutacji ${\displaystyle \sigma }$ (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Definicja 3.

n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},}$ generowanej przez wektory ${\displaystyle u_{1}\vee \ldots \vee u_{n},}$ gdzie ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ przebiegają całą przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Definicja 4.

n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},}$ generowanej przez wektory ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n},}$ gdzie ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ przebiegają całą przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Oznaczenia:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n}}$ – n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}}$ – n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Iloczyny tensorowe symetryczny ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n}}$ oraz antysymetryczny ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}}$ tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}}$ przestrzeni Hilberta.

Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:

(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},}$ tzn.

A. Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to

A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes 2}\equiv {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}}$

zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).

B. Analogicznie przestrzeń

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}=\underbrace {{\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}} _{n{\rm {-razy}}}}$

zawiera stany układu ${\displaystyle n}$ cząstek tego samego typu.

C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},n=2,3,\dots }$ są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}}$ poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli

• pełną przestrzenią Focka (inne nazwy: wolna przestrzeń Focka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przestrzeń

${\displaystyle \Phi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus {\mathcal {H}}\oplus ({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})\oplus \dots }$

Inne oznaczenia: ${\displaystyle \Gamma _{f},}$ bądź ${\displaystyle \Gamma _{fr}.}$

• symetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Focka) nad ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przestrzeń

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\vee n}.}$

Inne oznaczenia: ${\displaystyle \Gamma _{s}.}$

• antysymetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Focka) nad ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przestrzeń

${\displaystyle \Psi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\wedge n}.}$

Inne oznaczenia: ${\displaystyle \Gamma _{s}.}$

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków ${\displaystyle n}$-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu ${\displaystyle n}$cząstek.

Każdy element ${\displaystyle f}$ pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci

${\displaystyle f=(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n},\dots ),}$

(często dla skrócenia zapisu pisze się ${\displaystyle f=\sum _{n\geqslant 0}f_{n},}$ bądź ${\displaystyle f=\bigoplus _{n\geqslant 0}f_{n}}$), gdzie ${\displaystyle f_{n}}$ jest elementem przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}}$ (odpowiednio, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}}$) oraz

${\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{n\geqslant 0}\|f_{n}\|^{2}<\infty .}$

Wektor

${\displaystyle \left(1,0,0,\dots \right)}$ (zapisywany często w postaci sumy prostej ${\displaystyle 1\oplus 0\oplus 0\oplus \dots }$)

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem ${\displaystyle \Omega ,}$ bądź ${\displaystyle {\textbf {1}}.}$

Przestrzeń liniowa ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})}$ generowana przez wektory postaci ${\displaystyle u^{\otimes n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ przebiega zbiór liczb naturalnych, a ${\displaystyle u}$ przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ tj.

${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})={\text{Lin}}\left\{u^{\otimes n}\colon n\geqslant 0,u\in {\mathcal {H}}\right\},}$

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).}$ Przestrzeń ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})}$ nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Dla każdego elementu ${\displaystyle u}$ przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ wzór:

${\displaystyle \varepsilon (u):=\left(1,u,{\frac {u^{\otimes 2}}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {u^{\otimes n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}$

określa element przestrzeni ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})\subseteq \Phi ({\mathcal {H}}),}$ nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora ${\displaystyle u.}$ W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym ${\displaystyle \varepsilon (0).}$

Jeżeli ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ należą do ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ to

${\displaystyle \left\langle \varepsilon (u),\varepsilon (v)\right\rangle =e^{\left\langle u,v\right\rangle }.}$

Dla dowolnego podzbioru ${\displaystyle S}$ przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ symbol ${\displaystyle {\mathcal {E}}(S)}$ oznacza podprzestrzeń

${\displaystyle {\mathcal {E}}(S):={\text{Lin}}\left\{\varepsilon (u)\colon u\in S\right\}.}$

W szczególności, gdy ${\displaystyle S={\mathcal {H}}}$ można pisać krótko ${\displaystyle {\mathcal {E}}(S)={\mathcal {E}}.}$ Zbiór ${\displaystyle \left\{\varepsilon (u)\colon u\in {\mathcal {H}}\right\}}$ jest liniowo niezależny. Co więcej, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).}$

Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ są przestrzeniami Hilberta, to

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2})=\Gamma ({\mathcal {H}}_{1})\otimes \Gamma ({\mathcal {H}}_{2}),}$

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})=e^{\mathcal {H}},}$ to powyższy wzór przybiera postać

${\displaystyle e^{{\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}}=e^{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes e^{{\mathcal {H}}_{2}},}$

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa^[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

• ${\displaystyle \left\{\left.\Omega ,e_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{n}}\right|i_{j}=1,2,\dots ,\ j=1,2,\dots ,n,\ n=1,2,\dots \right\},}$
• ${\displaystyle \left\{\Omega ,\left.\left({\frac {n!}{r_{1}!\dots r_{k}!}}\right)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}^{r_{1}}\vee e_{i_{2}}^{r_{2}}\vee \ldots \vee e_{i_{k}}^{r_{k}}\right|r_{1}+\ldots +r_{k}=n,\ 1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k},\ k,n=1,2,\dots \right\},}$
• ${\displaystyle \left\{\left.\Omega ,(n!)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}\right|1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n},n=1,2,\dots \right\},}$

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {H}}),}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})}$ i ${\displaystyle \Psi ({\mathcal {H}}).}$ Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Niech ${\displaystyle u}$ będzie ustalonym elementem przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Funkcje

${\displaystyle a_{0}(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}}),}$

${\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}})}$

dane wzorami

${\displaystyle a_{0}(u)\varepsilon (v)=\left\langle u,v\right\rangle \varepsilon (v),}$

${\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\varepsilon (v)={\frac {d}{dt}}\left.\varepsilon (v+tu)\right|_{t=0}}$

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ jest gęsta w ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}),}$ tak więc ${\displaystyle a_{0}(u)^{*}}$ i ${\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)^{*}}$ są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

${\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\subseteq a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}^{\dagger }(u)}}=a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}(u)}}=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}}$^[5],

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

${\displaystyle a(u):=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}}$

oraz

${\displaystyle a^{*}(u):=a_{0}(u)^{*}.}$

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})}$ jest ich dziedziną istotną (podobnie jak ${\displaystyle {\mathcal {E}},}$ na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

${\displaystyle a(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n}}\left\langle u,v\right\rangle v^{\otimes (n-1)}}$

oraz

${\displaystyle a^{*}(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n+1}}P^{(n+1)}(u\otimes v^{\otimes n}).}$

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni ${\displaystyle n}$ do ${\displaystyle n-1}$ cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni ${\displaystyle n{\text{-}}}$ do ${\displaystyle (n+1)}$-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną, na jakiej są one zdefiniowane (jako domknięte operatory wzajemnie sprzężone), jest odpowiednio^[6]: dla operatora anihilacji

${\displaystyle D(a(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\},}$

oraz dla operatora kreacji

${\displaystyle D(a^{*}(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a^{*}(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}$

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

${\displaystyle [a(u),a^{*}(v)]=\left\langle u,v\right\rangle I,}$

${\displaystyle \{a(u),a(v)\}=\{a^{*}(u),a^{*}(v)\}=0}$

gdzie ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ oznacza komutator operatorów, a ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

${\displaystyle \sup _{\|h\|=1}\|a(u)h\|\geqslant \sup _{v\in {\mathcal {H}}}\|a(u)e^{-{\frac {\|v\|^{2}}{2}}}\varepsilon (v)\|=\sup _{v\in {\mathcal {H}}}|\left\langle u,v\right\rangle |=\infty .}$

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – ${\displaystyle a_{\left\langle u\right|}^{-}}$ i kreacji – ${\displaystyle a_{\left|u\right\rangle }^{+},}$ przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Operator liczby cząstek ${\displaystyle N}$ na ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})}$ określony jest w następujący sposób:

${\displaystyle N\colon D(N)\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\to \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n\geqslant 0},}$

gdzie:

${\displaystyle D(N):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}$

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).}$ Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek ${\displaystyle {\sqrt {N}}.}$

Zbiór ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})}$ jest dziedziną istotną operatora ${\displaystyle N,}$ tzn. jest domknięciem obcięcia operatora ${\displaystyle N}$ do zbioru ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}}).}$ W szczególności, dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,}$ operator ${\displaystyle f(N)}$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

${\displaystyle D(f(N)):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\},}$

${\displaystyle f(N)u=(f(n)u_{n})_{n\geqslant 0}.}$

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n\geqslant 0}$ iloczyn tensorowy ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\otimes n}}$ można w naturalny sposób utożsamić z ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ skąd

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {C} )=\Phi (\mathbb {C} )=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \ldots =\ell ^{2}.}$

Dla każdej liczby zespolonej ${\displaystyle z}$ wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

${\displaystyle \varepsilon (z)=\left(1,z,{\frac {z^{2}}{\sqrt {2!}}},\dots ,{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}$

i należy do przestrzeni ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$ rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:

${\displaystyle e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}(x),}$

gdzie ${\displaystyle H_{n}}$ jest wielomianem Hermite’a stopnia ${\displaystyle n.}$

Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm ${\displaystyle U\colon \Gamma (\mathbb {C} )\to L^{2}(\mu ),}$ że

${\displaystyle [Ue(z)](x)=e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}},\,z\in \mathbb {C} .}$

Przestrzeń Focka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech ${\displaystyle B=\{B(t)\colon t\geqslant 0\}}$ będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną ${\displaystyle \mathbb {B} }$ na przestrzeni funkcji ciągłych ${\displaystyle C([0,\infty )).}$ Dla dowolnej funkcji zespolonej ${\displaystyle f,}$ będącej elementem przestrzeni ${\displaystyle L^{2}(\lbrack 0,\infty ))}$ (z miarą Lebesgue’a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu ${\displaystyle B.}$ Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

${\displaystyle U\colon \Gamma (L^{2}([0,\infty )))\to L^{2}(\mathbb {B} ),}$

który spełnia warunek

${\displaystyle [Ue(f)](B)=\exp {\left(\int _{0}^{\infty }fdB-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }f(t)^{2}dt\right)}.}$

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku^[7].

• Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123–134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.).
• Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201–210. ISBN 978-3540244066. (ang.).
• Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53–54. ISBN 978-0125850506. (ang.).
• Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207–209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.).