Macierze podobne

Macierze podobne – macierze kwadratowe ${\displaystyle A,B}$ stopnia ${\displaystyle n}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ spełniające równość ${\displaystyle A=C^{-1}BC,}$ dla pewnej macierzy ${\displaystyle C}$ nieosobliwej^[1].

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem ${\displaystyle \approx .}$ Podobieństwo macierzy zapisuje się: ${\displaystyle A\approx B}$^[1].

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności^[2], ponieważ jest:

• zwrotna: ${\displaystyle A\approx A,}$ ponieważ ${\displaystyle A=I^{-1}AI,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ to macierz identycznościowa;
• symetryczna: ${\displaystyle {\Big (}A=C^{-1}BC\Rightarrow B=(C^{-1})^{-1}AC^{-1}{\Big )}\Longrightarrow {\Big (}A\approx B\Rightarrow B\approx A{\Big )};}$
• przechodnia: ${\displaystyle (A\approx B\wedge B\approx C)\Rightarrow (A=D^{-1}BD\wedge B=E^{-1}CE)\Rightarrow A=(ED)^{-1}C(ED)\Rightarrow A\approx C}$^[3].

Macierz ${\displaystyle B}$ nazywa się podobną do macierzy ${\displaystyle A,}$ jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa ${\displaystyle C,}$ że ${\displaystyle B=C^{-1}AC.}$ Mówi się, że macierz ${\displaystyle B}$ powstaje z macierzy ${\displaystyle A}$ za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności^[4]:

${\displaystyle C^{-1}A_{1}C+C^{-1}A_{2}C+\,\dots \,+C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}+A_{2}+\,\dots \,+A_{n})C),}$

${\displaystyle C^{-1}A_{1}CC^{-1}A_{2}C\,\dots \,C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}A_{2}\,\dots \,A_{n})C.}$

W szczególności ${\displaystyle (C^{-1}AC)^{n}=C^{-1}A^{n}C}$ i ogólnie ${\displaystyle f(C^{-1}AC)=C^{-1}f(A)C}$ dla dowolnego wielomianu ${\displaystyle f(\lambda ).}$

Z ostatniej własności wynika, że

• macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne, ponieważ

${\displaystyle |B-\lambda I|=|C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC|=|C^{-1}|\ |A-\lambda I|\ |C|=|A-\lambda I|,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ to macierz identycznościowa.

Macierze podobne ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B=C^{-1}AC}$ mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

${\displaystyle x_{B}=C^{-1}x_{A},}$

gdzie ${\displaystyle C}$ jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\quad (A-\lambda I)x_{A}=0\\\quad (B-\lambda I)x_{B}=0\end{matrix}}\;\;\right\}{\begin{matrix}\quad (C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC)x_{B}=0\\C^{-1}(A-\lambda I)Cx_{B}=0\\(A-\lambda I)x_{A}=0\end{matrix}}\;\to \;x_{B}=C^{-1}x_{A}.}$

• W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1955.
• Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7