C*-algebra

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu ce-gwiazdka) – zespolona algebra Banacha ${\displaystyle A}$ z dodatkowym działaniem inwolucji ${\displaystyle ^{*}\colon A\to A}$ (${\displaystyle A}$ jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*) ${\displaystyle {}\quad \|a^{*}a\|=\|a\|\ \|a^{*}\|\quad (a\in A).}$

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

• Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta. Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na ${\displaystyle H}$ ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora ${\displaystyle T\to T^{*}}$ jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
• Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ tworzą domknięty ideał w algebrze ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$). Algebra ${\displaystyle K(H)}$ operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra ${\displaystyle K(H)}$ nie ma jedynki.
• Niech ${\displaystyle K}$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha ${\displaystyle C_{0}(K)}$ złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na ${\displaystyle K}$ i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując ${\displaystyle f^{*}(z)}$ jako sprzężenie zespolone wartości ${\displaystyle f(z)}$ dla każdego punktu ${\displaystyle z}$ przestrzeni ${\displaystyle K.}$ Przestrzeń ${\displaystyle C_{0}(K)}$ z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ${\displaystyle K}$ jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na ${\displaystyle K;}$ w tym przypadku używa się zwykle symbolu ${\displaystyle C(K)}$ zamiast ${\displaystyle C_{0}(K)}$). Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle C(\beta \omega ),}$ gdzie ${\displaystyle \beta \omega }$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c₀ jest algebrą postaci ${\displaystyle C_{0}(K),}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
• W przypadku gdy ${\displaystyle A}$ jest C*-algebrą oraz ${\displaystyle M_{n}}$ oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n,}$ to algebrę macierzy ${\displaystyle M_{n}(A)}$ o współczynnikach z algebry ${\displaystyle A}$ można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie ${\displaystyle a}$ C*-algebry ${\displaystyle A}$ mówi się, że jest

• normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a;}$
• samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. ${\displaystyle a=a^{*};}$
• rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. ${\displaystyle a=a^{*}}$ oraz ${\displaystyle a^{2}=a.}$

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry ${\displaystyle A.}$ Dwa rzuty ${\displaystyle p,q\in A}$ są równoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn. ${\displaystyle p\sim q}$), gdy istnieje taka częściowa izometria ${\displaystyle v\in A,}$ że ${\displaystyle p=v^{*}v}$ i ${\displaystyle q=vv^{*}.}$ Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut ${\displaystyle p}$ w C*-algebrze ${\displaystyle A}$ jest

• nieskończony, gdy ${\displaystyle p\sim q}$ dla pewnego właściwego rzutu ${\displaystyle q\in A}$ spełniającego ${\displaystyle q\leqslant p,}$
• skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty ${\displaystyle p,}$ dla których istnieją takie dwa rzuty ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in A,}$ że ${\displaystyle p_{1}p_{2}=0}$ (wzajemna ortogonalność), ${\displaystyle p_{1}+p_{2}\leqslant p}$ oraz ${\displaystyle p\sim p_{1}\sim p_{2}.}$

Dla niezerowego rzutu ${\displaystyle p\in A}$ następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle p}$ jest nieskończony w sposób właściwy,
2. ${\displaystyle p\oplus p\leqslant p,}$
3. istnieją takie częściowe izometrie ${\displaystyle s_{1},s_{2}\in A,}$ że ${\displaystyle s_{1}^{*}s_{1}+s_{2}^{*}s_{2}=p}$ oraz ${\displaystyle s_{1}s_{1}^{*}+s_{2}s_{2}^{*}\leqslant p,}$
4. obraz ${\displaystyle p}$ w dowolnej algebrze ilorazowej ${\displaystyle A}$ poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na ${\displaystyle \ell _{2}(N).}$

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego ${\displaystyle a,}$ tj. pozwala zdefiniować ściśle element ${\displaystyle f(a),}$ gdzie ${\displaystyle f}$ jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie ${\displaystyle a.}$

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci ${\displaystyle C_{0}(K),}$ to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów ${\displaystyle K}$ (jeżeli przestrzeń ${\displaystyle K}$ jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

• Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
• W przypadku, gdy C*-algebra ${\displaystyle A}$ ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w ${\displaystyle A}$ jest zawarte w okręgu jednostkowym.
• Element ${\displaystyle a}$ C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są C*-algebrami, ${\displaystyle A\subseteq B}$ oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu ${\displaystyle a}$ algebry ${\displaystyle A}$ (względem algebry ${\displaystyle A}$) jest takie samo jak jego widmo względem algebry ${\displaystyle B.}$ Innymi słowy, widmo ${\displaystyle a}$ nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Element ${\displaystyle u}$ C*-algebry ${\displaystyle A}$ (z jedynką 1) jest unitarny, gdy ${\displaystyle uu^{*}=1}$ (równoważnie, ${\displaystyle u^{*}u=1,}$ bądź ${\displaystyle u^{*}=u^{-1}}$). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie^[1].

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech ${\displaystyle A}$ będzie C*-algebrą z jedynką oraz ${\displaystyle U}$ niech będzie zbiorem elementów unitarnych w ${\displaystyle A.}$ Wówczas domknięta kula jednostkowa ${\displaystyle B_{A}}$ jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru ${\displaystyle U,}$ tj.

${\displaystyle B_{A}={\overline {\operatorname {conv} }}U.}$

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera^[2].

Dowód. Niech ${\displaystyle x\in A}$ oraz ${\displaystyle \|x\|<1.}$ Wystarczy uzasadnić, że ${\displaystyle x}$ należy do domknięcia zbioru ${\displaystyle \operatorname {conv} U.}$ To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego ${\displaystyle u\in U}$ element ${\displaystyle y=(x+u)/2}$ należy do domknięcia ${\displaystyle \operatorname {conv} U.}$ Rzeczywiście,

${\displaystyle y=[(x\cdot u^{-1}+1)/2]\cdot u.}$

Ponieważ ${\displaystyle \|x\cdot u^{-1}\|=\|x\|<1,}$ więc element ${\displaystyle (x\cdot u^{-1}+1)}$ jest odwracalny, skąd również ${\displaystyle y}$ jest elementem odwracalnym. Element ${\displaystyle y}$ jest więc postaci ${\displaystyle y=v|y|,}$ gdzie ${\displaystyle v}$ jest pewnym elementem unitarnym oraz

${\displaystyle (y^{*}y)^{1/2}=|y|=(w+w^{*})/2,}$

gdzie ${\displaystyle w=|y|+i(1-|y|^{2})^{1/2}}$ jest również unitarne. Dowodzi, to że ${\displaystyle B_{A}-U\subseteq U+U.}$ Z powyższego wynika więc, że ${\displaystyle U}$ zawiera się w zbiorze ${\displaystyle 2\cdot {\overline {\operatorname {conv} }}-x,}$ który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie ${\displaystyle \operatorname {conv} U.}$ Równoważnie,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+{\overline {\operatorname {conv} }}U)\subseteq {\overline {\operatorname {conv} }}U.}$

Ciąg ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$ elementów ze zbioru ${\displaystyle {\overline {\operatorname {conv} }}U)}$ można zadać rekurencyjnie: ${\displaystyle x_{0}}$ – dowolny element ${\displaystyle U}$ oraz ${\displaystyle x_{n+1}=(x+x_{n})/2;}$ ciąg ten jest zbieżny do ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \Box }$

O operatorze ${\displaystyle T}$ na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

${\displaystyle \langle Tx,x\rangle \geqslant 0.}$

Dodatniość operatora ${\displaystyle T}$ jest równoważna istnieniu takiego operatora ${\displaystyle S,}$ że ${\displaystyle T=SS^{*}.}$ Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze ${\displaystyle A}$ jako takiego, który można przedstawić w postaci ${\displaystyle a=bb^{*}}$ dla pewnego elementu ${\displaystyle b}$ C*-algebry ${\displaystyle A.}$ Dla elementu ${\displaystyle a}$ C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle a}$ jest elementem dodatnim;
2. widmo elementu ${\displaystyle a}$ zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
3. istnieje taki element samosprzężony ${\displaystyle h}$ w C*-algebrze ${\displaystyle A,}$ że ${\displaystyle a=h^{2}.}$

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem ${\displaystyle A_{+}.}$ Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek ${\displaystyle A_{+}\cap -A_{+}=\{0\}.}$ W stożku ${\displaystyle A_{+}}$ definiuje się porządek częściowy warunkiem ${\displaystyle a\leqslant b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy element ${\displaystyle b-a}$ jest dodatni.

Funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi }$ na C*-algebrze ${\displaystyle A}$ jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego ${\displaystyle a}$ z ${\displaystyle A}$ spełniony jest warunek ${\displaystyle \varphi (a)\geqslant 0.}$ Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni ${\displaystyle \varphi }$ na C*-algebrze ${\displaystyle A}$ spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów ${\displaystyle a,b}$ z ${\displaystyle A{:}}$

1. ${\displaystyle \varphi (a^{*}b)={\overline {\varphi (b^{*}a)}};}$
2. ${\displaystyle |\varphi (b^{*}a)|^{2}\leqslant \varphi (a^{*}a)\cdot \varphi (b^{*}b).}$

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy’ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry ${\displaystyle A}$ nazywa się parę ${\displaystyle (H,\pi ),}$ gdzie ${\displaystyle H}$ jest pewną przestrzenią Hilberta oraz ${\displaystyle \pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)}$ jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; ${\displaystyle \pi (a^{*})=(\pi (a))^{*}}$ dla dowolnego ${\displaystyle a\in A}$) o wartościach w *-algebrze ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji ${\displaystyle (H,\pi )}$ C*-algebry ${\displaystyle A}$ mówi się, że jest

• niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \xi }$ jest takim elementem ${\displaystyle H,}$ że ${\displaystyle \pi (a)\xi =0,}$ to ${\displaystyle \xi }$ musi być wektorem zerowym;
• cykliczna, jeżeli istnieje taki element ${\displaystyle \xi \in H,}$ że zbiór ${\displaystyle \{\pi (a)\xi :a\in A\}}$ jest gęsty w ${\displaystyle H}$ (wektor ${\displaystyle \xi }$ nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji ${\displaystyle (H,\pi );}$ każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
• wierna, gdy ${\displaystyle \pi }$ jest monomorfizmem, tj. jeżeli ${\displaystyle \pi (a)=0,}$ to ${\displaystyle a=0;}$
• nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów ${\displaystyle \pi (A)=\{\pi (a)\colon a\in A\}}$ nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od ${\displaystyle \{0\}}$ i ${\displaystyle H}$) podprzestrzeni niezmienniczej.

Dla reprezentacji ${\displaystyle \pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)}$ następujące warunki są równoważne:

• ${\displaystyle \pi }$ jest nieprzywiedlna,
• ${\displaystyle \pi (A)'=\{cI\colon c}$ jest liczbą zespoloną ${\displaystyle {}\!\}}$
• ${\displaystyle \pi (A)''={\mathcal {B}}(H),}$
• ${\displaystyle \pi (A)}$ jest gęste w ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka mówi, że każda przemienna C*-algebra ${\displaystyle A}$ jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci ${\displaystyle C_{0}(K)}$ dla pewnej lokalnie-zwartej przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle K.}$ W istocie, przestrzeń ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią Gelfanda C*-algebry ${\displaystyle A}$ (tj. transformata Gelfanda ${\displaystyle \Gamma \colon A\to C_{0}(K)}$ jest epimorfizmem).
• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala mówi, że każda C*-algebra ${\displaystyle A}$ ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H;}$ innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ dla pewnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H.}$

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze ${\displaystyle A}$ istnieje taki ciąg uogólniony ${\displaystyle (e_{\alpha })_{\alpha }}$ złożony z elementów samosprzężonych ${\displaystyle (e_{\alpha }^{*}=e_{\alpha }),}$ że dla dowolnego ${\displaystyle a\in A}$ zachodzi

${\displaystyle \lim x\ e_{\alpha }=\lim e_{\alpha }\ x=x.}$

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy ${\displaystyle A}$ ma jedność ${\displaystyle e,}$ można przyjąć ${\displaystyle e_{\alpha }=e}$). W przypadku, gdy ${\displaystyle J}$ jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze ${\displaystyle A,}$ dla każdego elementu ${\displaystyle x\in J}$ istnieje taki ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ elementów ${\displaystyle J}$ o następujących własnościach:

1. widmo każdego elementu ${\displaystyle f_{n}}$ zawarte jest w przedziale ${\displaystyle [0,1];}$
2. ${\displaystyle \lim x\ f_{n}=x}$

(gdy ${\displaystyle A}$ ma jedność, wystarczy zdefiniować ${\displaystyle f_{n},}$ używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem ${\displaystyle f_{n}=nx^{2}(e+nx^{2})^{-1}}$).

Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli ${\displaystyle J}$ jest domkniętym ideałem w C*-algebrze ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ oraz ${\displaystyle x\in J,}$ to ${\displaystyle x=\lim x\ f_{n}.}$ Z drugiej strony, ${\displaystyle x^{*}=\lim f_{n}\ x^{*},f_{n}x^{*}\in J}$ oraz ${\displaystyle J}$ jest domknięty, więc ${\displaystyle x^{*}\in J.}$

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry ${\displaystyle A}$ przez domknięty ideał ${\displaystyle J}$ inwolucję wzorem: ${\displaystyle [x]^{*}=[x^{*}](x\in A).}$ Tak zadana inwolucja w ${\displaystyle A/J}$ spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra ${\displaystyle A}$ jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny ${\displaystyle \{0\}}$ oraz ideał niewłaściwy ${\displaystyle A}$). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe ${\displaystyle B/J,}$ gdzie ${\displaystyle B}$ jest pewną C*-algebrą oraz ${\displaystyle J}$ jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)/\mathbf {K} (H),}$ gdzie ${\displaystyle H}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a ${\displaystyle \mathbf {K} (H)}$ oznacza ideał operatorów zwartych na ${\displaystyle H.}$ Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza ${\displaystyle O_{n}.}$

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli ${\displaystyle \varphi }$ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze ${\displaystyle A,}$ to zbiór

${\displaystyle N_{\varphi }=\{a\in A\colon \varphi (a^{*}a)=0\}}$

jest ideałem lewostronnym w ${\displaystyle A.}$ W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Niech ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy ${\displaystyle A\otimes B}$ ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ w ${\displaystyle A\otimes B}$ spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

${\displaystyle \|x\otimes y\|=\|x\|_{A}\cdot \|y\|_{B}\;\;(x\in A,y\in B)}$^[3].

Projektywny iloczyn tensorowy ${\displaystyle \otimes _{\pi }}$ (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

• W. Arveson, An Invitation to C*-algebra, „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
• J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.

• C*-algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].