Ideał maksymalny

Ten artykuł od 2012-11 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ideał maksymalny – ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

W pierścieniach przemiennych z jedynką ${\displaystyle R}$ zachodzą następujące twierdzenia:

• Ideał ${\displaystyle I}$ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ jest ciałem^[1]. Ciało to nazywanym ciałem reszt.
• Każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym.
• Twierdzenie Krulla: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym^[2].

• W pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą ${\displaystyle p}$ (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$)^[3].
• W pierścieniu wielomianów ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów, dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów, dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$)
• W pierścieniu wielomianów ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez ${\displaystyle (x^{2}+1);}$ pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.

• Serge Lang: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984. ISBN 83-01-01519-5.