Rij van Padovan

De rij van Padovan is een rij gehele getallen (P_n) die gedefinieerd wordt door de beginvoorwaarden:

${\displaystyle P_{0}=P_{1}=P_{2}=1,}$

en de recurrente betrekking

${\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}.}$

Het begin van de rij is:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, ...^[1]

De rij is genoemd naar de architect en schrijver Richard Padovan, die zijn ontdekking toeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan. De rij is beschreven door de wiskundige Ian Stewart in zijn column Mathematical Recreations in Scientific American van juni 1996.

Door substitutie van P_n = xⁿ ontstaat de karakteristieke vergelijking:

${\displaystyle x^{3}=x+1}$,

${\displaystyle x^{4}=x^{2}+x{of}(x=0,x^{3}=x+1)}$,

${\displaystyle x^{5}=x^{2}(x+1)of(x=0,x^{3}=x+1)}$, ...

met de reële wortel ψ, het zogenaamde plastisch getal, en de complexe q en ${\displaystyle {\bar {q}}}$. Samen met de beginvoorwaarden volgt voor n > 2:

${\displaystyle P_{n}={\frac {\psi ^{n}}{3\psi ^{2}-1}}+{\frac {q^{n}}{3q^{2}-1}}+{\frac {{\bar {q}}^{n}}{3{\bar {q}}^{2}-1}}}$

De voortbrengende functie van de rij van Padovan is:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}x^{n}={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$

${\textstyle {\frac {1+x}{1-(1+x)x^{2}}}}$ is voor ${\textstyle x=-1,0,1}$ gelijk aan 0,1,-2.

Zoals het gulden getal ${\textstyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ de limiet is van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Fibonacci, is het plastisch getal ψ de limiet van de verhouding van twee opeenvolgende termen in de rij van Padovan:

${\displaystyle \psi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}.}$

De rij van Perrin (Per_n) voldoet aan dezelfde recurrente betrekking als de rij van Padovan, maar heeft andere beginvoorwaarden, namelijk:

${\displaystyle Per_{0}=3,}$

${\displaystyle Per_{1}=0,}$

${\displaystyle Per_{2}=2.}$

• Padovans rij A000931 in OEIS
• Rij van Padovan in Wolfram's MathWorld mathworld.wolfram.com
• Dom Hans van der Laan and the Plastic Number www.nexusjournal.com door Richard Padovan
• Tales of a Neglected Number https://members.fortunecity.com door Ian Stewart. Gearchiveerd op 2006-01-31.
• Hier staat een calculator voor de rij van Padovan www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk Gearchiveerd op 2007-02-16.