Ромб

Ромб
	Ромб е паралелограм со 4 еднакви страни
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Шлефлиев симбол	D2, C2
Плоштина	a·h
Обем	4a
Својства	испакнат

Во геометријата, ромб е паралелограм со четири исти страни, т.е. четирите страни се со истата должина, односно се складни.^[1]^[2]

Формално, ромб се дефинира како паралелограм со две соседни складни страни. (Бидејќи ромб е паралелограм, спротивни страни се складни. Ако и две соседни страни се складни, следува дека сите 4 страни се складни.)
Основна регулатива: Ромб е потполно определен со должина на страна и големина на еден внатрешен агол. Исто така, ромб е потполно определен со должина на страна и висина (растојание помеѓу (било кои) две паралелни страни).

Формули и особини за ромб

Нека е даден ромб со страна a и внатрешен остар агол α.

Периметар

L=4a

Плоштина е:^[3] должина по висина односно страна по висина

P=a\cdot h

или

P={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}

Висина

h=a\cdot \sin(\alpha )

или

h={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2a}}

Карактеристики на ромб

Сите страни се исти.	Дијагонали на ромб.	Дијагоналите меѓусебно се нормални.	Дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.

Ромб е делтоид.	Дијагоналите се преполовуваат.	Висина h на ромб.	Впишана кружница на ромб.

Бидејќи ромб е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите и средните линии се пресекуваат во една точка.
Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.

Дијагонали на ромб

Дијагоналите на ромб се сечат под прав агол.

Дијагоналите на ромб ги преполовуваат внатрешните агли (на ромбот).

Доказ: Истовремено ќе ги докажеме двата искази. Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат поделувајќи го ромбот на 4 складни триаголници според принципот ССС (страна-страна-страна). Со тоа аглите на 4-те триаголници се складни од што следува: (а) дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли и (б) 4-те агли околу пресечната точка на дијагоналите се складни, т.е. се по 90°.

Дијагонали

d_{1}=a{\sqrt {2(1+\cos(\alpha ))}}

и

d_{2}=a{\sqrt {2(1-\cos(\alpha ))}}

(Види паралелограм.)

Карактеризации на ромб

Обратното важи, т.е. паралелограм е ромб ако било кој од следните искази е вистинит.^[4]
- 4-те страни се складни.
- дијагоналите се сечат под прав агол.
- дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.

Симетрија

Ромб има осна симетрија во однос на своите дијагонали, т.е. со ротација или свртување на ромб околу дијагонала се добива истиот ромб.
Ромб има вртежна симетрија од 2-ри ред како паралелограм, т.е. ако ротираме ромб ^360°/₂=180° се добива истиот ромб.

Впишана и опишана кружница на ромб

Ромб е тангентен четириаголник, т.е. има впишана кружница таква да сите четири страни на ромбот се тангенти на кружницата.

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден испакнат четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи ромб е тангентен четириаголници.^[5]

Формула: Полупречникот r на впишаната кружница е половина од висината h^[6]

r={\frac {h}{2}}={\frac {a\sin(\alpha )}{2}}

Ромб нема опишана кружница освен ако е квадрат.

Ромб и делтоид

Секој ромб е и делтоид бидејќи има два пара складни соседни страни како што се бара за делтоид. Следува и од тука дека:
- Дијагоналите на ромб се сечат под прав агол.
- Ромб е тангентен четириаголник, т.е. има впишана кружница.

Обопштување на ромб

Обопштување во 3Д: Ромбоедар е полиедар со 6 страни, секоја од која е ромб.

Наводи

↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 686. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 120.
↑ Kleyn, I. „Дијагонали на ромб се сечат под прав агол“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.
↑ Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..
↑ Kleyn, I. „Кружница впишана во ромб - повеќе методи“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2010). „Ромб“. Архивирано од изворникот на 2013-09-16. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
„Ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
„Плоштина на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
„Периметар на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
„Дијагонали на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Weisstein, Eric W. (2013). „Ромб“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.
R. Pierce (2011). „Ромб“ (англиски). MathisFun. Посетено на 1 септември 2013.
„Полупречник на впишана кружница во ромб“ (англиски). Math Central. Посетено на 1 септември 2013.

[Oxford-1] C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 686. Посетено на 1 септември 2013.

[2] „Ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[3] Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 120.

[4] Kleyn, I. „Дијагонали на ромб се сечат под прав агол“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.

[Andreescu-5] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..

[6] Kleyn, I. „Кружница впишана во ромб - повеќе методи“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.

[1]