Pāriet uz saturu

Eilera formula

Vikipēdijas lapa
Kompleksās plaknes vienības riņķis, kur ass ir imagināra un ass ir reāla. Riņķi atlikta eilera formula.

Eilera formula, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim izpildās:

, kur ir Eilera skaitlis, ir imaginārā vienība un , ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss.[1] Formula ir arī spēkā, ja ir komplekss skaitlis.[2]

Kad , Eilera formula ir vienāda ar .

Kompleksas pakāpes definīcijas

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Diferenciālvienādojums

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pakāpes funkcija , kur ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

un

Priekš kompleksiem mainīgajiem izpildās Teilora rinda:

.

Priekš kompleksiem mainīgajiem izpildās robeža:

Robežās definīcijas izmantotie ir pozitīvie veselie skaitļi.

Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

Izmantojot atvasināšanau

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Apskatīsim funkciju jeb , kur ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc ar reizināšanas kārtulu iegūst:

, iznesot pirms iekavām iegūst . Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad ir nulle, jeb ir konstanta funkcija. Tā kā , tad pie jebkuras vērtības izpildās , jeb .

Izmantojot Teilora rindu

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]
Teilora rindas pierādījuma animācija

Izmantojot imaginārās vienības pakāpju īpašības:

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem :

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz un funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

Saistība ar trigonometriju

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]
Saistība sinusa, kosinusa un imaginārās pakāpes funkcijai.

Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

[2]

Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot vai :

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram: