모스 이론

미분위상수학에서 모스 이론(Morse理論, 영어: Morse theory)은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다.^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지라고 한다.

${\displaystyle M}$이 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$이 있다고 하자. ${\displaystyle f}$의 임계점들은 ${\displaystyle f}$의 기울기가 0인 ${\displaystyle M}$의 부분 집합이다. 이를

${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)=\{x\in M\colon \mathrm {d} f=0\in \mathrm {T} _{x}^{*}M\}\subseteq M}$

로 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$에 속하는 ${\displaystyle M}$의 부분 다양체

${\displaystyle \Sigma \subseteq \operatorname {Crit} (f)\subseteq M}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$의 접다발을 어떤 임의의 리만 계량을 사용하여 ${\displaystyle \Sigma }$ 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {T} M\upharpoonright \Sigma =\mathrm {T} \Sigma \oplus \mathrm {N} _{M}\Sigma }$

(물론, 만약 ${\displaystyle \Sigma =\{x\}}$가 한원소 공간일 경우, ${\displaystyle \mathrm {T} \Sigma =0}$이며 ${\displaystyle \mathrm {T} M\upharpoonright \Sigma =\mathrm {N} _{M}\Sigma }$이다.)

이 경우, ${\displaystyle x\in \Sigma }$ 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬

${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{x}f)_{ij}=\partial _{i}\partial _{j}f}$

을 정의할 수 있으며, 이를 ${\displaystyle \mathrm {N} _{M}\Sigma }$에 제한할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle \Sigma }$에 대한 모스-보트 지표(Morse-Bott指標, 영어: Morse–Bott index) ${\displaystyle \operatorname {ind} _{f}(\Sigma )}$는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}f\upharpoonright \mathrm {N} _{M}\Sigma }$의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 ${\displaystyle x\in \Sigma }$의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 ${\displaystyle \Sigma =\{x\}}$인 경우, ${\displaystyle \operatorname {ind} _{f}(\{x\})}$는 단순히 헤세 행렬 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}f}$의 음의 고윳값의 수이다. 이를 ${\displaystyle \operatorname {ind} _{f}(x)}$라고 쓰며, ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x}$에서의 모스 지표(Morse指標, 영어: Morse index)라고 한다.

매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$가 다음 조건들을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$를 모스-보트 함수(Morse-Bott函數, 영어: Morse–Bott function)라고 한다.^{[9]:Definition 3.1}

• ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$는 ${\displaystyle M}$의 부분 다양체들의 합집합이다. (각 연결 성분들은 서로 다른 차원을 가질 수 있으나, 이들은 맞닿을 수 없다.)
• ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$의 임의의 연결 성분 ${\displaystyle \Sigma }$를 골랐을 때, 모든 ${\displaystyle x\in \Sigma }$에 대하여 제한된 헤세 행렬 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}f\upharpoonright \mathrm {N} _{M}\Sigma }$는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이 경우, ${\displaystyle \Sigma }$의 모스-보트 지표(Morse-Bott指標, 영어: Morse–Bott index) ${\displaystyle \operatorname {ind} _{f}(\Sigma )}$는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}f\upharpoonright \mathrm {N} _{M}\Sigma }$의 음의 고윳값의 수이다. (이는 ${\displaystyle x\in \Sigma }$에 의존하지 않는다.)

이 경우, 각 ${\displaystyle \Sigma _{i}\subseteq \operatorname {Crit} (f)}$를 ${\displaystyle f}$의 임계 부분 다양체(臨界部分多樣體, 영어: critical submanifold)라고 한다.

또한, 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 모스 함수라고 한다.

• 모스 함수(Morse函數, 영어: Morse function)는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 비퇴화 쌍선형 형식인 함수다. 즉, 헤세 행렬이 0을 고윳값으로 갖지 않는다.
• ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$의 모든 연결 성분이 0차원인 모스-보트 함수이다.

매끄러운 함수 ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle \Vert f\Vert |_{k}=\sup _{M}|f|^{2}+\sup _{M}\Vert \nabla f\Vert ^{2}+\cdots +\sup _{M}\Vert \nabla ^{k}f\Vert ^{2}}$

이 프레셰 위상을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 리만 계량에 의존하지 않는다.

이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$의 조밀 집합을 이룬다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 모스 함수 ${\displaystyle f}$

그렇다면, 각 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$에 대하여 부분 공간

${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]\subseteq M}$

을 정의할 수 있다. 이는 사실 경계다양체를 이룬다.

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle f^{-1}[a,b]\subseteq M}$이 ${\displaystyle f}$의 임계점을 포함하지 않는다면, ${\displaystyle M^{a}}$와 ${\displaystyle M^{b}}$는 서로 미분 동형이다.
• 만약 ${\displaystyle f^{-1}(a,b)}$이 ${\displaystyle f}$의 임계점 가운데 하나 ${\displaystyle x\in M}$를 포함하며, 또한 ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$가 ${\displaystyle x}$ 이외의 다른 임계점을 포함하지 않는다면, ${\displaystyle M^{b}}$는 ${\displaystyle M^{a}}$에 ${\displaystyle \gamma (x)}$차 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 ${\displaystyle f}$의 값이 항상 서로 다르다면, ${\displaystyle f}$는 모스 함수 ${\displaystyle f}$는 다양체 ${\displaystyle M}$와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 ${\displaystyle k}$인 특이점은 ${\displaystyle k}$차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다.

모스 이론	세포 복합체
모스 함수의 임계점	세포
모스 함수의 임계점의 모스 지표	세포의 차수
${\displaystyle M^{a}}$ (${\displaystyle a}$는 임계값이 아님)	${\displaystyle f(x)<a}$인 임계점들 ${\displaystyle x\in M}$에 대응하는 세포들로 구성된 뼈대

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 모스-보트 함수 ${\displaystyle f}$가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 모스-보트 다항식(영어: Morse–Bott polynomial)을 정의할 수 있다.^{[9]:Definition 3.4}

${\displaystyle \operatorname {MB} _{f}(t)=\sum _{i}\operatorname {P} _{\Sigma _{i}}(t)t^{\gamma (\Sigma _{i})}}$

이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 ${\displaystyle f}$가 모스 함수일 경우, 이를 모스 다항식(영어: Morse polynomial)이라고 한다.

이제, ${\displaystyle M}$이 콤팩트 가향 다양체이며, 각 ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ 또한 모두 가향 다양체라고 하자. (만약 ${\displaystyle f}$가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, 모스-보트 부등식에 따르면,

${\displaystyle \operatorname {MB} _{f}(t)=\operatorname {P} _{M}(t)+(1+t)R(t)}$

가 되는, 자연수(음이 아닌 정수) 계수의 다항식

${\displaystyle R(t)\in \mathbb {N} [t]}$

이 존재한다.^{[9]:Theorem 3.5}

여기서

${\displaystyle \operatorname {P} _{M}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {Q} ))t^{n}}$

는 ${\displaystyle M}$의 푸앵카레 다항식이다.

특히, 만약 ${\displaystyle t=-1}$일 경우

${\displaystyle \operatorname {MB} _{f}(-1)=\operatorname {P} _{M}(-1)=\chi (M)}$

이 된다. 여기서 ${\displaystyle \chi (M)}$은 오일러 지표이다. (만약 ${\displaystyle f}$가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)

${\displaystyle f}$가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면,

${\displaystyle |\{x\in \operatorname {Crit} (f)\colon \gamma (x)=k\}|\geq \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} _{k}(M;\mathbb {Q} )}$

이다. 즉, ${\displaystyle k}$차 임계점의 수는 ${\displaystyle k}$차 베티 수의 상계를 이룬다. (이 역시 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)

${\displaystyle n+1}$차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) ${\displaystyle n}$차원 초구

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\{x=(t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon t_{0}^{2}+t_{1}^{2}+\dotsb +t_{n}^{2}=1\}}$

를 생각하자. 이 경우, 높이 ${\displaystyle t_{0}}$는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점

${\displaystyle x_{\pm }=(\pm 1,0,0,\dotsc ,0)}$

을 가지며, ${\displaystyle x_{+}}$는 북극, ${\displaystyle x_{-}}$는 남극에 해당한다. 이 경우, ${\displaystyle x_{+}}$의 모스 지표는 ${\displaystyle n}$이며, ${\displaystyle x_{-}}$의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 ${\displaystyle n}$차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다.

2차원 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$을 3차원 유클리드 공간에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다.

이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선,

${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

이다. 임의의 두 점 ${\displaystyle t,t'\in \mathbb {S} ^{1}}$을 골랐을 때,

${\displaystyle e_{0}=\{(t,t')\}}$

${\displaystyle e_{1}=\{t\}\times (\mathbb {S} ^{1}\setminus \{t'\})}$

${\displaystyle e_{1}'=(\mathbb {S} ^{1}\setminus \{t\})\times \{t'\}}$

${\displaystyle e_{2}=\mathbb {S} ^{1}\setminus \{t\}\times \mathbb {S} ^{1}\setminus \{t'\}}$

는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다.

보다 일반적으로, 종수 ${\displaystyle g}$의 콤팩트 가향 곡면 ${\displaystyle \Sigma _{g}}$를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 ${\displaystyle 2g+2}$개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{2g+2}}$라고 할 때,

${\displaystyle \gamma (x_{1})=0}$

${\displaystyle \gamma (x_{2})=\dotsb =\gamma (x_{2g+1})=1}$

${\displaystyle \gamma (x_{2g+2})=2}$

이다. 이것이 정의하는 세포 복합체 구조에서, ${\displaystyle x_{2},\dotsc ,x_{2g+1}}$는 ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(\Sigma _{g})\cong \mathbb {Z} ^{2g}}$의 표준적 기저에 해당한다.

반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 ${\displaystyle C_{\pm }}$가 존재한다. 이 경우

• ${\displaystyle C_{-}}$는 “남극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 0이다.
• ${\displaystyle C_{+}}$는 “북극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 1이다.

원의 푸앵카레 대항식은

${\displaystyle \operatorname {P} _{\mathbb {S} ^{1}}(t)=1+t}$

이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은

${\displaystyle \operatorname {MB} _{f}(t)=(1+t)+(1+t)t=(1+t)^{2}}$

이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은

${\displaystyle \operatorname {P} _{\mathbb {T} ^{2}}(t)=(\operatorname {P} _{\mathbb {S} ^{1}}(t))^{2}=(1+t)^{2}}$

이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, ${\displaystyle R(t)=0}$이다).

1차원 이상의 매끄러운 다양체 위에서, 상수 함수를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, 이산 공간)의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.)

임의의 다양체 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ 및 ${\displaystyle M}$ 위의 함수 ${\displaystyle f}$에 대하여, ${\displaystyle M\times N}$ 위에 ${\displaystyle f\circ \operatorname {proj} _{M}\colon M\times N\to \mathbb {R} }$를 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle N}$이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 ${\displaystyle f}$가 모스 함수라면 ${\displaystyle f\circ \operatorname {proj} _{M}}$는 모스-보트 함수를 이룬다.

마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리^[10]와 제임스 클러크 맥스웰^[11] 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.^[12] 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

이후 스티븐 스메일 · 라울 보트 · 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다.

• “Morse theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morse inequalities”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morse function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morse index”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morse lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morse theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Morse function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Morse theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Discrete Morse Theory”. 《nLab》 (영어).