상한과 하한

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순서론에서, 어떤 집합 T의 부분 집합 S에 대해 S의 상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈^[*]) 또는 최소 상계(最小上界, 영어: least upper bound, LUB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, 영어: infimum 인파이멈^[*]) 또는 최대 하계(最大下界, 영어: greatest lower bound, GLB)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset P}$의 상계(上界, 영어: upper bound) ${\displaystyle p\in P}$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle s\lesssim p}$이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset P}$의 하계(下界, 영어: lower bound) ${\displaystyle p\in P}$는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

• 모든 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle s\gtrsim p}$이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset P}$의 상한 ${\displaystyle s\in P}$는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.

• ${\displaystyle S}$의 상계이다.
• 모든 ${\displaystyle p\in P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle S}$의 상계라면, ${\displaystyle p\gtrsim s}$이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subset P}$의 하한 ${\displaystyle i\in P}$는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.

• ${\displaystyle S}$의 하계이다.
• 모든 ${\displaystyle p\in P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle S}$의 하계라면, ${\displaystyle i\gtrsim p}$이다.

즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 최소 원소이며, 하한은 그 하계들의 집합의 최대 원소이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합을 완비 격자라고 한다.

임의의 원순서 집합에서, 정의에 따라, 공집합 ${\displaystyle \varnothing \subseteq P}$의 상한은 (만약 존재한다면) ${\displaystyle P}$의 최소 원소이며, 공집합 ${\displaystyle \varnothing \subseteq P}$의 하한은 (만약 존재한다면) ${\displaystyle P}$의 최대 원소이다.

원순서 집합의 최소 원소들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 동치류는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약 ${\displaystyle P}$가 부분 순서 집합이라면, 최소 원소 및 최대 원소는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합 ${\displaystyle S}$의 상한은 ${\displaystyle \sup S}$ 또는 ${\displaystyle \textstyle \bigvee S}$로, 하한은 ${\displaystyle \inf S}$ 또는 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge S}$로 쓴다.

부분 순서 집합의 부분 집합 ${\displaystyle S}$가 최대 원소 ${\displaystyle \max S}$를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, ${\displaystyle \sup S=\max S}$이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

실수의 전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수의 전순서 집합 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}$의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 ${\displaystyle +\infty }$, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 ${\displaystyle (0,1)}$은 상한 ${\displaystyle 1}$을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

• “Upper and lower bounds”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infimum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Upper bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lower bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Least upper bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Greatest lower bound”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded from above”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded from below”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

• 유계 집합
• 극대 원소와 극소 원소
• 상한공리