Ռյոլոյի եռանկյուն

Ռյոլոյի եռանկյուն^{[* 1]}, երեք այնպիսի հավասար շրջանների հատում, որոնց կենտրոնները հավասարակողմ եռանկյան գագաթներ են, իսկ շառավիղները հավասար են այդ կանոնավոր եռանկյան կողմին^[1][2]։ Ոչ հարթ փակ կորը, որը սահմանափակում է այդ պատկերը, ևս կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյուն։

Շրջանից հետո Ռյոլոյի եռանկյունն ամենապարզ անփոփոխ լայնության պատկերն է^[1]։ Այսինքն, եթե Ռյոլոյի եռանկյանը տանենք երկու զուգահեռ հենակետային ուղիղներ^{[* 2]}, ապա անկախ ընտրված ուղղությունից նրանց միջև հեռավորությունն անփոփոխ կմնա^[3]։ Այդ հեռավորությունը կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյան լայնություն։

Այլ անփոփոխ լայնության պատկերների շարքում Ռյոլոյի եռանկյունն առանձնանում է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով՝ նվազագույն մակերեսով^[1], գագաթի հնարավոր նվազագույն անկյունով^[4], կենտրոնի նկատմամբ նվազագույն համաչափությամբ^[5]։ Եռանկյունը տեխնիկայում մեծ տարածում է ստացել։ Նրա հիմքով են պատրաստվել ճանկավոր ու գրեյֆերավոր մեխանիզմները, Վանկելի ռոտորա-մխոցային շարժիչները, անգամ շաղափիչները, որոնք հնարավորություն են տալիս քառակուսաձև անցքեր ծակել^[6]։

Պատկերի անվանումն առաջացել է գերմանացի մեխանիկ Ֆրանց Ռյոլոյի ազգանունից։ Նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց այս եռանկյան բնութագրիչ հատկությունները և դրանք օգտագործեց իր մեխանիզմներում^[7]։

Ռյոլոն այս պատկերի առաջին հայտնագործողը չէր, չնայած նա մանրամասնորեն ուսումնասիրել է այն։ Մասնավորապես, նա հետազոտել է այն հարցը, թե քանի կոնտակտ է (կինեմատիկ զույգերով) անհրաժեշտ հարթ պատկերի շարժումը կանխելու համար, և քառակուսուն ներգծված կորացած եռանկյան օրինակով ցույց է տվել, որ անգամ երեք կոնտակտը կարող է բավական չլինել պատկերի շարժումը կանխելու համար^[8]։

Որոշ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ շրջանագծի հավասար աղեղներով կառուցված եռանկյունն առաջին անգամ կիրառել է Լեոնարդ Էյլերը 18-րդ դարում^[9]։ Սակայն նման պատկեր հանդիպում է նաև առավել վաղ շրջանի՝ 15-րդ դարի ձեռագրերում. այդպիսի եռանկյուններ գծագրել է նաև Լեոնարդո դա Վինչին։ Ռյոլոյի եռանկյունը կա նրա A և B հին ձեռագրերում, որոնք պահպանվում են Ֆրանսիայի Ինստիտուտում^[10], ինչպես նաև Մադրիդյան կոդեքսում^[9]։

Մոտավորապես 1514 թվականին Լեոնարդո դա Վինչին ստեղծում է որպես այդպիսին առաջին աշխարհի քարտեզներից մեկը։ Երկրագնդի մակերևույթն այդ քարտեզում հասարակածով և երկու այլ միջօրեականներով (այդ միջօրեականների հարթությունների միջև անկյունը հավասար է 90°) нբաժանված է ութ սֆերիկ եռանկյունների, որոնք քարտեզի հարթությունում պատկերված էին Ռյոլոյի եռանկյունների ձևով, որոնք յուրաքանչյուր բևեռի մոտ չորսական հավաքված են^[11]։

Ավելի վաղ՝ 13-րդ դարում, Բրյուգգեի Աստվածամոր տաճարի կառուցողները որոշ պատուհաններ կառուցել են հենց Ռյոլոյի եռանկյան ձևով^[9]։

Ռյոլոյի եռանկյունը իրենից ներկայացնում է հարթ ուռուցիկ երկրաչափական պատկեր^[12]։

Եթե Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը նշանակենք ${\displaystyle a}$, ապա նրա մակերեսը հավասար կլինի^[13] ${\displaystyle S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},}$ պարագիծը՝ ${\displaystyle p=\pi a,}$ նեգծյալ շրջանագծի շառավիղը՝${\displaystyle r=\left(1-{{1} \over {\sqrt {3}}}\right)\cdot a,}$ իսկ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ ${\displaystyle R={{a} \over {\sqrt {3}}}}$։

Ռյոլոյի եռանկյունն ունի առանցքային համաչափություն։ Այն ունի երկրորդ կարգի երեք համաչափության առանցքներ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և հանդիպակաց աղեղի միջնակետով։ Բացի այդ Ռյոլոյի եռանկյունն ունի երրորդ կարգի ևս մեկ համաչափության առանցք, որն ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով^{[* 3]}։ Այսպիսով, Ռյոլոյի եռանկյան համաչափության խումբը բաղկացած է վեց արտացոլումներից (ներառյալ նույնանունները) և համընկնում է հավասարակողմ եռանկյան ${\displaystyle D_{3}}$ խմբի համաչափության հետ։

Ռյոլոյի եռանկյուն կարելի է կառուցել օգտվելով միայն կարկինից (կարելի է նույնիսկ քանոն չօգտագործել)։ Որպեսզի կառուցենք Ռյոլոյի եռանկյունը, պետք է հետևենք շրջանագծերը գծելու հետևյալ երեք կանոններին։ Առաջին շրջանագծի կենտրոնը ընտրում ենք կամայական ձևով, երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվի առաջին շրջանագծի վրա, իսկ երրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է լինի նախորդ երկու շրջանագծերի երկու հատման կետերից որևէ մեկը։

Քանի որ Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը հաստատուն է, ապա այն օժտված է այդ դասին պատկանող բոլոր պատկերների հատկություններով։ Մասնավորապես՝

• ${\displaystyle a}$ լայնություն ունեցող Ռյոլոյի եռանկյան երկու կամայական կետերի միջև հեռավորությունը չի կարող գերազանցել ${\displaystyle a}$-ն,
• այն շրջանագծի շառավիղը, որը Ռյոլոյի եռանկյան հետ ունի ամենաքիչը երեք ընդհանուր կետ, չի գերազանցում եռանկյան լայնությունը,
• ըստ Հանֆրիդ Լենցի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյունը չի կարելի բաժանել այնպիսի երկու հավասար պատկերների, որոնց տրամագիծը փոքր կլինի եռանկյան լայնությունից^[14][15],
• Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է ներգծել քառակուսի, ինչպես նաև կանոնավոր վեցանկյուն,
• ըստ Բարբեի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյան պարագծի բանաձևը գործում է այլ նույն լայնությունն ունեցող պատկերների համար^[16][17]։

${\displaystyle a}$ հաստատուն լայնություն ունեցող պատկերներից նվազագույն մակերեսն ունի Ռյոլոյի եռնակյունը։ Այս պնդումը կրում է Բլաշկե-Լեբեգի թեորեմ անվանումը^[18]։ Թեորեմն անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Վիլհելմ Յոհան Բլաշկեի (տպագրել է այս թեորեմը 1915 թվականին^[19]) և ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Հենրի Լեբեգի (սահմանել է այս թեորեմը 1914 թվականին^[20]) պատվին։ Տարբեր ժամանակաշրջաններում այս թեորեմը փորձել են ապացուցել Մացուսաբուրո Ֆուձիվարան (1927 և 1931 թվականներ^[21][22]), Անթոն Մեյերը (1935 թվական^[23]), Հարոլդ Էգլստոնը (1952 թվական^[24]), Աբրամ Բեզիմովիչը (1963 թվական^[25]), Դոնալդ Չակերիանը (1966 թվական^[26]), Էվանս Հարելը (2002 թվական^[27]) և այլ մաթեմատիկոսներ։

Որպեսզի գտնենք Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը, անհրաժեշտ է գումարել ներքին հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը՝ ${\displaystyle S_{\triangle }={{\sqrt {3}} \over {4}}\cdot a^{2}}$, 60° անկյան վրա հենված երեք մնացած նույնատիպ շրջանագծային սեգմենտների գումարային մակերեսի հետ՝ ${\displaystyle (S_{seg}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\right)={\left({{\pi } \over {6}}-{{\sqrt {3}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}})}$։ Մակերեսի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝ ${\displaystyle S_{rt}=S_{\triangle }+3S_{seg}={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\ldots }$^[28]։

Շրջանագիծն այն պատկերն է, որն օժտված է հակառակ էքստրեմալ հատկություններով։ ${\displaystyle a}$ լայնություն ունեցող շրջանագծի մակերեսը հավասար է ${\displaystyle S_{\circ }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots }$, որը համարվում է մաքսիմալ մակերես այն պատկերների համար, որոնք ունեն հաստատուն ${\displaystyle a}$ լայնություն^{[29][* 4]}։ Համապատասխան Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը փոքր է շրջանագծի մակերեսից ≈10, 27 %-ով։ Այս սահմաններում են ընկնում մնացած երկրաչափական պատկերների մակերեսները։

Կամայական հաստատուն լայնությամբ պատկեր կարող է ներգծվել այնպիսի քառակուսու, որի կողմը հավասար է պատկերի լայնությանը, ընդ որում քառակուսու գագաթների ուղղությունը կարելի է ընտրել կամայական ձևով^{[* 5]}։ Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է արտագծել քառակուսի, որի մեջ այն կգլորվի՝ անընդհատ շոշափելով բոլոր չորս կողմերը^[30]։

Գլորման ընթացքում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթ «անցնում է» քառակուսու պարագծին մոտ «ճանապարհ»։ Շեղումը հիմնականում գրանցվում է քառակուսու անկյուններում, որտեղ եռանկյան գագաթը գծում է էլիպսի աղեղ։ Այդ էլիպսի կենտրոնը գտնվում է քառակուսու հանդիպակաց անկյունում, իսկ նրա մեծ և փոքր առանցքները քառակուսու կողմերի նկատմամբ թեքված են 45° անկյան տակ և հավասար են՝ ${\displaystyle a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),}$ որտեղ ${\displaystyle a}$-ն՝ եռանկյան լայնությունն է^[31]։ Չորս էլիպսներից յուրաքանչյուրը շոշափում է քառակուսու երկու կից կողմերը քառակուսու անկյունից ${\displaystyle a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\ldots }$ հեռավորության վրա^[28]։

Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որը Ռյոլոյի եռանկյան քառակուսիով գլորվելու ժամանակ գծում է պատկերի եզրերից մեկը (նրա սահմանը ցուցադրված է սև գույնով)	Պատկերի գլորումից առաջացած անկյունը, պատկերված են նաև եռանկյան և քառակուսու հատման կետերը

Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը շարժվում է չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած հետագծով։ Այդ էլիպսների կենտրոնները տեղակայված են քառակուսու գագաթներում, իսկ առանցքները թեքված են քառակուսու կողմերի նկատմամբ 45° անկյան տակ և հավասար են^[31]` ${\displaystyle a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3}}}\right)}$:

Սովորաբար իրականության մեջ կենտրոնի շարժման հետագիծը համարում են ոչ թե չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած պատկերը, այլ նրա մակերեսին մոտ շրջանագիծը^[32]։

Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որն ընդգրկում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնի անցած ճանապարհի մեկ չորրորդ մասը	Սա այն հետագիծն է, որով շարժվում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը, կապույտով ընդգծված է իդեալականացված շրջանագիծը, իսկ սևով՝ էլիպսը

Գլորումով պայմանավորված յուրաքանչյուր ազատ անկյան մասի մակերեսը հավասար^[33] է ${\displaystyle \beta =a^{2}\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)}$։ Քառակուսու մակերեսից հանելով այս մակերեսը, կարելի է ստանալ այն պատկերի մակերեսը, որն առաջանում է Ռյոլոյի եռանկյունը քառակուսու մեջ գլորվելուց հետո, այսպիսով^[28][33][34]` ${\displaystyle a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+{{\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2}\cdot 0{,}98770\ldots }$:

Այս մակերեսը տարբերվում է քառակուսու մակերեսից ≈1, 2 %-ով, այդ իսկ պատճառով Ռյոլոյի եռանկյան մոդելով ստեղծում են շաղափիչներ, որոնցից հնարավոր է ստանալ համարյա քառակուսի անցքեր^[31]։

Ֆրեզերը, որոնցում կիրառված է կտրող սուր ծայրերով Ռյոլոյի եռանկյուն, հնարավորություն են տալիս ստանալ քառակուսաձև անցքեր։ Նմանատիպ անցքերը սովորական քառակուսուց տարբերվում են փոքր-ինչ կլորացած գագաթներով^[36]։ Այսպիսի ֆրեզների մյուս յուրահատկությունն այն է, որ նրանց կենտրոնը պտտվելիս անշարժ չի մնում, ինչպես առօրյայում կիրառվող պարուրաձև շաղափների դեպքում։ Այս դեպքում կենտրոնը գծում է կոր, որը կազմված է չորս էլիպսային աղեղներից։ Այդ իսկ պատճառով պատրոնը, որին ամրացված է ֆրեզը չպետք է խոչընդոտի այդ շարժմանը^[31]։

Առաջին անգամ նման կառուցվածք ստացավ ԱՄՆ-ում աշխատող անգլիացի ինժեներ Գարի Ուատսը։ Անցք բացելու համար նա օգտագործում էր քառակուսաձև կտրվածքով ուղղիչ շաբլոնը, որում շարժվում էր շաղափը, որում տեղադրված էր «լողացող պատրոն»^[36]։ Պատրոնի պատենտներն^[37] ու շաղափը^[38] ստացվել էին Ուատսի կողմից, 1917 թվականին։ Նոր նմանատիպ շաղափիչների վաճառքն իրականացնում էր Watts Brothers Tool Works^[en][39][40]։ Այս հայտնագործություն հիման վրա 1978 թվականին ԱՄՆ-ն ևս մի պատենտ թողարկեց^[41]։

Կիրառության այլ օրինակ կարելի է գտնել Վանկելի շարժիչում. այստեղ ռոտորը Ռյոլոյի եռանկյան ձևով է^[6]։ Այն պտտվում է էպիտրոհոիդային ձևի խցի ներսում^[42]։ Ռոտորի գլանը կոպտորեն միացված է ատամնանիվի, որը կապված է այլ անշարժ ատամնանիվի։ Նման եռանիստ ռոտորը գլորվում է ատամնանիվի շուրջը անընդհատ հպվելով շարժիչի պատերին՝ առաջացնելով փոփոխական ծավալներով երեք խոռոչ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով դառնում է այրման խցիկ^[6]։ Այդպիսի կառուցվածքի շնորհիվ շարժիչը երեք լիարժեք աշխատանքային ցիկլ է իրականացնում մեկ պտույտի ընթացքում։

Վանկելի շարժիչը հնարավորություն է տալիս իրականացնել յուրաքանչյուր քառատակտ ջերմադինամիկական ցիկլ առտանց գազաբաշխման մեխանիզմի կիրառության։ Խառնուրդաձևավորումը, այրումը, յուղումը, սառեցումը և անկումը այստեղ կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչպես մյուս ներքին այրման շարժիչներում^[42]։

• Радемахер Г., Тёплиц О. Кривые постоянной ширины // Числа и фигуры. Опыты математического мышления / Пер. с нем. В. И. Контовта. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 195—211. — 263 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 10). — 40 000 экз.
• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 4). — 25 000 экз.

• Eggleston H. G. Sets of Constant Width // Convexity. — London: Cambridge University Press, 1958. — P. 122—131. — 136 p. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). — ISBN 0-5210-7734-6
• Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5
• Gleißner W., Zeitler H. The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass. — Results in Mathematics. — 2000. — Vol. 37. — P. 335—344.
• Moon F. C. Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. — Dordrecht: Springer, 2007. — P. 239—241. — 451 p. — (History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2). — ISBN 978-1-4020-5598-0
• Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 2002. — P. 141—144. — 180 p. — (Spectrum Series). — ISBN 0-8838-5537-2
• Reuleaux F. Pairs of Elements // The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines / Tr. and ed. by Alexander B. W. Kennedy. — London: Macmillan and Co, 1876. — P. 86—168. — 622 p.
• Smith S. Drilling Square Holes. — Mathematics Teacher. — Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1993. — Vol. 86. — P. 579—583.

• «Մաթեմատիկական էտյուդներ» շարքի Ռյոլոյի եռանկյանը նվիրված հոլովակների սերիա.
  • «Ռյոլոյի կլոր եռանկյուն»
  • «Քառակուսաձև անցքերի բացում»
  • «Հայտնագործելով անիվըԱրխիվացված 2012-05-28 Wayback Machine»
• Bogomolny A. «Shapes of Constant Width». Cut the Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մա��իսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Eppstein D. «Reuleaux Triangles». Geometry Junkyard (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Kunkel P. «Reuleaux Triangle». Whistler Alley Mathematics (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Peterson I. «Rolling with Reuleaux». Ivars Peterson’s MathLand (անգլերեն). Mathematical Association of America. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
• Taimina D., Henderson D. W. «Reuleaux Triangle». Kinematic Models for Design Digital Library (անգլերեն). Cornell University. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.{{cite web}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)
• Weisstein E. W. [in անգլերեն]. «Reuleaux Triangle». Wolfram MathWorld (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ նոյեմբերի 6-ին.