Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására. A differenciálszámítás láncszabályának ellenpárja.

Legyen ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {R} }}$ egy intervallum, és ${\displaystyle g:[a,b]\to I}$ egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ egy folytonos függvény, akkor:

${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.}$

A Leibniz-féle jelölést használva, az ${\displaystyle x=g(t)}$ behelyettesítés mindkét oldalát ${\displaystyle t}$ szerint deriválva megkapjuk a ${\displaystyle dx/dt=g'(t)}$ kifejezést, amely formálisan átírható a ${\displaystyle dx=g'(t)\,dt}$ alakra, mely a kívánt behelyettesítést adja ${\displaystyle dx}$-re.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Az helyettesítéses integrálás levezethető az analízis alaptételéből, tehát a Newton–Leibniz-tételből:

Legyen ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ és ${\displaystyle g:[a,b]\to I}$ két függvény, melyek eleget tesznek a következőknek: ${\displaystyle f}$ folytonos az ${\displaystyle I}$ intervallumban, és ${\displaystyle g'\,}$ is folytonos az ${\displaystyle [a,b]}$ zárt intervallumban. Ekkor az ${\displaystyle f(g(t))\cdot g'(t)}$ függvény is folytonos ${\displaystyle [a,b]}$-ben. Ezekből következik, hogy a következő két integrál:

${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt}$

létezik. Mivel ${\displaystyle f}$ folytonos, rendelkezik egy ${\displaystyle F}$ antideriválttal, és definiálható az ${\displaystyle F\circ g}$ függvénykompozíció. Mivel ${\displaystyle F}$ és ${\displaystyle g}$ legalább egyszer differenciálható, a láncszabály értelmében:

${\displaystyle (F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).}$

Az analízis alaptételének kétszeri alkalmazása bizonyítja, hogy a két integrál egyenlő:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)=F(g(b))-F(g(a))=\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,}$

tehát bizonyítja a helyettesítési szabály helyességét is.

Tekintsük a következő integrált:

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$

Ha elvégezzük az ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: ${\displaystyle du=2x\ dx}$ és

${\displaystyle \int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).}$

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó határpontot (az ${\displaystyle x=0}$-t) az ${\displaystyle u=0^{2}+1}$ kifejezéssel, valamint a felső határpontot (az ${\displaystyle x=2}$-t) az ${\displaystyle u=2^{2}+1=5}$ kifejezéssel helyettesítettük, az ${\displaystyle x}$ visszahelyettesítése szükségtelen.

A következő integrál kiértékeléséhez érdemes a helyettesítést jobbról balra alkalmazni:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx.}$

Az ${\displaystyle x=\sin(u)}$ behelyettesítés hasznos, mivel így ${\displaystyle dx=\cos(u)\ du}$, és ${\displaystyle u\in [0,\pi /2]}$-re teljesül ${\displaystyle {\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)}$. A behelyettesítést elvégezve a következő eredményt kapjuk:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\frac {\pi }{4}}}$

A ${\displaystyle \cos ^{2}(u)}$ integrálja kiszámítható parciális integrálással és trigonometrikus azonosságok alkalmazásával.

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

${\displaystyle \quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C}$

ahol ${\displaystyle C}$ tetszőleges integrálási konstans.

Mivel nem volt integrálási határpont (tehát az integrál határozatlan), az utolsó lépésben szükséges megfordítani az eredeti helyettesítést: ${\displaystyle u=x^{2}+1}$.

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó ${\displaystyle p_{x}}$ valószínűség-sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó ${\displaystyle Y}$, mely ${\displaystyle X}$-hez az ${\displaystyle Y=\Phi (X)}$ egyenlettel kapcsolódik, ahol ${\displaystyle \Phi }$ egy injekció. A keresett mennyiség ${\displaystyle Y}$ valószínűség-sűrűsége.

A kérdés megválaszolható, ha előtte kiszámítjuk azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy ${\displaystyle Y}$ egy bizonyos ${\displaystyle S}$ részhalmazon nemnulla értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget ${\displaystyle P(Y\in S)}$-ként.

Ha ${\displaystyle Y}$ valószínűségi sűrűsége ${\displaystyle p_{y}}$, akkor a keresett mennyiség

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{y}(y)\,dy.}$

${\displaystyle Y}$ akkor vesz fel nemnulla értéket az ${\displaystyle S}$ halmazon, ha ${\displaystyle X}$ nemnulla értéket vesz fel a ${\displaystyle \Phi ^{-1}(S)}$ halmazon, tehát

${\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \Phi ^{-1}(S))=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)\,dx.}$

Az integrálban az ${\displaystyle x}$ változó helyére ${\displaystyle y}$-t behelyettesítve

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)~dx=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.}$

Ezt a kifejezést egyenlővé téve a ${\displaystyle P(Y\in S)}$ definíciójával a következőt kapjuk:

${\displaystyle \int _{S}p_{y}(y)~dy=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.}$

Ebből következik, hogy:

${\displaystyle p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$

Abban az esetben, ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ több korrelálatlan változótól függ, azaz ${\displaystyle p_{x}=p_{x}(x_{1}\ldots x_{n})}$ és ${\displaystyle y=\Phi (x)}$, ${\displaystyle p_{y}}$-t többváltozós behelyettesítéssel kapjuk meg, melynek eredménye

${\displaystyle p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1}(y)\right]\right|.}$

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl. Real and abstract analysis. Springer-Verlag (1965). ISBN 978-0387045597. 
• Katz, V.. Change of variables in multiple integrals – Euler to Cartan. Mathematics Magazine 55 (1982). ISBN 978-0387045597. 
• Reiman István. Matematika. Typotex Kft (2011). ISBN 9789632793009 
• Gerőcs L.; Dr. Vancsó Ödön. Matematika. Akadémia Kiadó Zrt. (2010). ISBN 9789630584883 

• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Karakterisztikus függvény
• Lapultság
• Láncszabály