פונקציית מחלקים

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת המספרים, פונקציית מחלקים היא פונקציה אריתמטית הקשורה למחלקים של מספר שלם. מקרה פרטי של פונקציית מחלקים הסופרת את מספר המחלקים של מספר שלם נקראת פונקציית המחלקים. רמנוג'אן חקר את פונקציית המחלקים ומצא מספר זהויות הקשורות בה.

פונקציית מחלקים ${\displaystyle \ \sigma _{x}(n)}$ מוגדרת כסכום של המחלקים בחזקת x של n, או:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!.}$

הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים מסומנת ב-${\displaystyle \ d(n)}$ או ב-${\displaystyle \ \tau (n)}$ (פונקציית הטאו) והיא בעצם ${\displaystyle \ \sigma _{0}(n)}$. כלומר:

${\displaystyle \sigma _{0}(n)\equiv \tau (n)\equiv d(n)}$

כאשר x הוא 1 זוהי פונקציית סכום המחלקים, ואז משמיטים את הכתיב התחתון.

${\displaystyle \sigma _{1}(n)\equiv \sigma (n)}$

לכל מספר ראשוני p:

${\displaystyle \ \sigma _{0}(p)=2}$

${\displaystyle \ \sigma _{1}(p)=p+1}$

ובאופן כללי אם ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}}$ הוא הפירוק לגורמים של n, אז:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{k_{i}x})=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{k_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(k_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$

ובפרט:

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1)}$

שני טורי דיריכלה המשתמשים בפונקציית המחלקים הם

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}}$

טור למברט המשתמש בפונקציית המחלקים הוא:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

ההתנהגות של פונקציית המחלקים היא אי-רגולרית. קצב הגידול שלה ניתן לביטוי על ידי

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }}$

כאשר הוא ${\displaystyle \ \gamma }$ קבוע אוילר.

סדרת מחלקים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית מחלקים בוויקישיתוף

• פונקציית מחלקים, באתר MathWorld (באנגלית)