Test exact de Fisher

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Test exact de Fisher

Type	Test statistique, concept mathématique (en)
Inventeur	Ronald Aylmer Fisher
Nommé en référence à	Ronald Aylmer Fisher

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

En statistique, le test exact de Fisher est un test statistique exact utilisé pour l'analyse des tables de contingence. Ce test est utilisé en général avec de faibles effectifs mais il est valide pour toutes les tailles d'échantillons. Il doit son nom à son inventeur, Ronald Fisher. C'est un test qualifié d'exact car les probabilités peuvent être calculées exactement plutôt qu'en s'appuyant sur une approximation qui ne devient correcte qu'asymptotiquement comme pour le test du ${\displaystyle \chi ^{2}}$ utilisé dans les tables de contingence.

Les calculs à la main ne sont raisonnables que pour les tables 2 × 2 mais le principe du test peut s'étendre au cas général et certains logiciels de statistique permettent le calcul pour le cas général.

Fisher aurait conçu le test à la suite d'un commentaire de Muriel Bristol, qui prétendait pouvoir détecter si le thé ou le lait avait été ajouté en premier à sa tasse^[1]. Il a testé sa revendication dans une expérience appelée « lady tasting tea ».

Soit un tableau de contingence entre deux variables qualitatives A et B. La première étape consiste à formuler l'hypothèse nulle d'indépendance entre ces deux variables qualitatives. Si ces deux variables sont indépendantes, on peut alors calculer la probabilité de chaque modalité A1, A2... La probabilité de présenter A1 et B1 est alors égale à P(A1) × P(B1). On peut ainsi calculer la probabilité de se trouver dans chaque case du tableau. Enfin, on peut calculer la probabilité, si l'hypothèse nulle est vraie, d'observer un tableau de contingence donné.

La deuxième étape consiste alors à calculer, pour tous les tableaux de contingence possibles dont celui étudié, la possibilité d'observer ce tableau de contingence si l'hypothèse nulle est vraie. On range alors les tableaux de contingence en deux catégories : ceux qui sont plus compatibles avec l'hypothèse nulle que le tableau étudié (leur probabilité est plus élevée sous l'hypothèse nulle), et ceux qui sont autant ou moins compatibles.

La p-value est obtenue en sommant les probabilités des tableaux de contingence qui sont moins probables (sous l'hypothèse nulle) que le tableau étudié.

Soit un échantillon d'adolescents, on sépare l'échantillon entre filles et garçons et entre ceux qui suivent un régime et ceux qui n'en suivent pas. Nous supposons que la proportion de filles qui suivent un régime est supérieure à celle des garçons, et nous voulons tester si la différence de proportion observée est significative. Voici les données :

Ces données ne sont pas adaptées pour une analyse par un test du ${\displaystyle \chi ^{2}}$, parce que les valeurs attendues (théoriques) dans la table sont inférieures à 10, et dans une table de contingence 2 × 2, le nombre de degrés de liberté est toujours égal à 1.

La question que l'on se pose à propos de ces données est : sachant que 10 de ces 24 adolescents pratiquent un régime et que 12 sont des filles, quelle est la probabilité que ces 10 qui pratiquent un régime soient répartis de manière équilibrée entre les filles et les garçons ? Si on choisit 10 adolescents au hasard, quelle est la probabilité que 9 d'entre eux soient parmi les 12 filles et seulement 1 parmi les 12 garçons ?

Avant de passer au test de Fisher nous introduisons quelques notations. On représente les cellules par les lettres a, b, c et d et on note n le total général. La table se présente ainsi :

Fisher a montré que si les totaux marginaux sont fixés, la probabilité de cette configuration est donnée, sous l'hypothèse nulle d'absence d'association, par la loi hypergéométrique :

où ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ est le coefficient binomial et le symbole ! indique la factorielle.

Dans l'exemple la probabilité d'obtenir le tableau croisé observé, avec les totaux marginaux donnés, est donc:

De manière à calculer si des données observées sont significativement éloignées de l'indépendance, c'est-à-dire la probabilité d'observer des données aussi ou plus éloignées que celles observées si l'hypothèse nulle (indépendance) est satisfaite, il faut calculer les valeurs de p pour ces tables et les ajouter. Cela donne un test unilatéral; pour un test bilatéral on doit considérer les tables qui sont extrêmes mais dans l'autre direction. Malheureusement classer les tables pour savoir si elles sont ou non aussi extrêmes est problématique. Une approche utilisée dans R avec la fonction "fisher.test" calcule la valeur p en sommant les probabilités de toutes les tables ayant une probabilité inférieure ou égale à celle de la table observée.

Voici la commande permettant d'entrer le tableau croisé de l'exemple présenté plus haut comme une matrice de R et de calculer la valeur de la probabilité :

fisher.test(matrix(c(1, 9, 11, 3), nrow = 2))

Et voici la valeur de la probabilité obtenue:

p-value = 0.002759

Cette valeur se calcule aussi assez facilement sans logiciel puissant avec le principe exposé. Il y a en tout quatre tables aussi éloignées ou plus éloignées de l'indépendance que la table observée. Il n'y a en tout que onze tables possibles sachant qu'il y a seulement dix adolescents qui suivent un régime, le nombre de garçons suivant un régime peut varier de 0 jusqu'à 10. Une fois que le nombre de garçons suivant un régime est connu tout le reste de la table est connu, ce qui correspond intuitivement au degré de liberté valant 1. Les quatre tables extrêmes correspondent aux valeurs 0, 1, 9 et 10 pour le nombre de garçons suivant un régime. La probabilité des deux tables plus éloignées de l'indépendance est très faible elle se calcule comme précédemment:

En ajoutant les probabilités des quatre tables on trouve ${\displaystyle p={\frac {82}{29716}}=0{,}0027594561\ldots }$

Le test permet de rejeter l'indépendance entre le sexe et le fait de faire un régime.

Comme cela a été noté plus haut la plupart des logiciels de statistiques modernes calculent le niveau de signification du test exact de Fisher, même si l'approximation du test du χ² est acceptable. Les calculs faits par les logiciels de statistiques sont différents des règles expliquées plus haut en raison des difficultés numériques dues aux très grandes valeurs des factorielles. Une meilleure approche s'appuie sur une fonction gamma ou une fonction log-gamma, mais les méthodes de calcul précis pour les probabilités hypergéométriques ou binomiales font encore partie de la recherche.

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

v · m Index du projet probabilités et statistiques

Théorie des probabilités Bases théoriques Principes généraux Axiomes des probabilités Espace probabilisable Probabilité Événement Tribu Indépendance Variable aléatoire Espérance Variables iid Convergence de lois Théorème central limite Loi des grands nombres Théorème de Borel-Cantelli Calcul stochastique Marche aléatoire Chaîne de Markov Processus stochastique Processus de Markov Martingale Mouvement brownien Équation différentielle stochastique Lois de probabilité Lois continues Loi exponentielle Loi normale Loi uniforme Loi de Student Loi de Fisher Loi du χ² Lois discrètes Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Loi géométrique Loi hypergéométrique Mélange entre statistiques et probabilités Intervalle de confiance Interprétations de la probabilité Bayésianisme Théorie des statistiques Statistiques descriptives Bases théoriques Une statistique Caractère Échantillon Erreur type Intervalle de confiance Fonction de répartition empirique Théorème de Glivenko-Cantelli Inférence bayésienne Régression linéaire Méthode des moindres carrés Analyse des données Corrélation Tableaux Tableau de contingence Tableau disjonctif complet Table de Burt Visualisation de données Histogramme Diagramme à barres Graphique en aires Diagramme circulaire Treemap Boîte à moustaches Nuage de points Graphique à bulles Diagramme en cascade Graphique en entonnoir Diagramme de Kiviat Corrélogramme Graphique en forêt Diagramme branche-et-feuille Heat map Sparkline Paramètres de position Moyenne arithmétique Mode Médiane Quantile Quartile Décile Centile Paramètres de dispersion Étendue Écart moyen Variance Écart type Déviation absolue moyenne Écart interquartile Coefficient de variation Paramètres de forme Coefficient d'asymétrie Coefficient d'aplatissement Statistiques inductives Bases th��oriques Hypothèse nulle Estimateur Signification statistique Sensibilité et spécificité Courbe ROC Nombre de sujets nécessaires Valeur p Contraste (statistiques) Statistique de test Taille d'effet Puissance statistique Tests paramétriques Test d'hypothèse Test de Bartlett Test de normalité Test de Fisher d'égalité de deux variances Test d'Hausman Test d'Anderson-Darling Test de Banerji Test de Durbin-Watson Test de Goldfeld et Quandt Test de Jarque-Bera Test de Mood Test de Lilliefors Test de Wald Test T pour des échantillons indépendants Test T pour des échantillons appariés Test de corrélation de Pearson Tests non-paramétriques Test U de Mann-Whitney Test de Kruskal-Wallis Test exact de Fisher Test de Kolmogorov-Smirnov Test de Shapiro-Wilk Test de Chow Test de McNemar Test de Spearman Tau de Kendall Test Gamma Test des suites de Wald-Wolfowitz Test de la médiane Test des signes ANOVA de Friedman Concordance de Kendall Test Q de Cochran Test des rangs signés de Wilcoxon Test de Sargan Application Économétrie Mécanique statistique Jeu de hasard Biomathématique Biostatistique Mathématiques financières

• Portail des probabilités et de la statistique