Lemme des noyaux

Lemme des noyaux^[1] — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]}$ (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels ${\displaystyle V_{i}=\ker(P_{i}(f))}$ (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}=\ker \left[\left(\prod _{i=1}^{n}P_{i}\right)(f)\right].}$

De plus, la projection de la somme directe ${\displaystyle V}$ sur ${\displaystyle V_{i}}$ parallèlement à ${\displaystyle \bigoplus _{j\neq i}V_{j}}$ est la restriction à ${\displaystyle V}$ d'un polynôme en ${\displaystyle f}$.

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et ${\displaystyle P\in K[X]}$ un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}}$ la factorisation de P avec les polynômes P_i irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices ${\displaystyle A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)}$ telles que

${\displaystyle \mathrm {Mat} _{B}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};}$

où ${\displaystyle n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$ (en fait la partie de B correspondant au bloc ${\displaystyle A_{i}}$ est une base de ${\displaystyle \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$), et ${\displaystyle P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0}$.