Codimension

La codimension est une notion de géométrie, rencontrée en algèbre linéaire, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique. C'est une mesure de la différence de tailles entre un espace et un sous-espace.

La codimension dans un espace vectoriel E d'un sous-espace vectoriel F est la dimension de l'espace vectoriel quotient E/F :

${\displaystyle \operatorname {codim} _{E}(F)=\dim(E/F)}$.

Cette codimension est aussi égale à la dimension de n'importe quel supplémentaire de F dans E^[1] car tous sont isomorphes à E/F.

Il résulte de la définition que F = E si et seulement si codim_E(F) = 0.

D'après la formule de Grassmann, si E = F⊕G, alors dim(E) = dim(F) + dim(G). En particulier :

Le rang d'une application linéaire u de E dans F est la dimension de son image im(u). Or d'après le théorème de factorisation, cette image est isomorphe à l'espace quotient E/ker(u) (par l'application qui à un élément [x] = x + ker(u) du quotient associe l'élément u(x) de im(u)), donc aussi à n'importe quel supplémentaire de ker(u) dans E. Ainsi :

Le rang de u est fini notamment lorsque E ou F est de dimension finie^[1]. Si E est dimension finie, l'égalité ci-dessus peut aussi se déduire du théorème du rang, qui assure que dans ce cas particulier,

${\displaystyle \operatorname {rg} (u)=\dim(E)-\dim(\ker u)=\operatorname {codim} _{E}(\ker u)}$.

Une variété de dimension n est un espace topologique M localement homéomorphe à un ouvert de Rⁿ. La définition d'une sous-variété généralise celle de sous-espace vectoriel. La codimension d'une sous-variété N de M est définie comme

${\displaystyle \operatorname {codim} _{M}(N)=\dim(M)-\dim(N)}$,

N étant elle-même une variété. En géométrie différentielle, la codimension peut aussi être associée aux plongements, aux immersions, aux feuilletages, etc. Si M est connexe, alors N = M si et seulement si codim_M(N) = 0.

En géométrie algébrique, comme une variété algébrique (ou un schéma) peut être la réunion de deux parties fermées strictes de dimensions différentes, la notion de codimension est un peu plus délicate. Une variété non vide qui n'est pas réunion de deux fermés strictement plus petits est dite irréductible.

La codimension d'un fermé irréductible N contenu dans la variété M est par définition la borne supérieure des entiers n tels qu'il existe une suite strictement croissante (F₀, F₁, … , F_n) de fermés irréductibles de M avec F₀ = N. Elle est notée codim(N, M) en géométrie algébrique. Si M est irréductible, alors N = M si et seulement si codim(N, M) = 0.

Lorsque M est une variété algébrique irréductible, on a :

${\displaystyle \operatorname {codim} (N,M)=\dim(M)-\dim(N)}$.

Dans une variété algébrique intègre, une hypersurface (le lieu des zéros d'une fonction régulière non nulle et non inversible) est de codimension 1.

Un cycle de codimension n est une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de fermés irréductibles de codimension n^[2].

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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