Discussion:Ensemble

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C'est bien pour ça que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas, un ensemble n'etant pas qu'une simple collection d'objet. Certaines proprietes doivent être rempliesDtcube

Les écrits de Cantor sont tous en allemand, pourquoi y a-t-il alors une citation en anglais ?? Xmlizer 2 nov 2004 à 10:56 (CET)

Bien sûr que non! Je l'ai supprimée et je l'ai remplacée par la citation originale en allemand trouvée sur le web. Pierre de Lyon 17 décembre 2005 à 11:10 (CET)[répondre]

Citation qu'il serait bon de traduire, si quelqu'un parle allemand dans le coin :) Mathieu Bonnet 6 août 2006 à 21:32 (CEST)[répondre]

Je comprends très mal l'allemand, mais je ne suis pas sûr de retrouver "multitude" dans l'original, "zusammenfassung" est-ce vraiment ça ? (par ailleurs, sur le fond, le terme "multitude" ne me gêne pas). Proz 22 décembre 2006 à 14:06 (CET)[répondre]

Dans le présent article, on définit l'égalité à partir de l'appartenance :

• (1) ${\displaystyle (A=B)\Leftrightarrow [\forall \ x,(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)]\,}$

Si c'est une définition de l'égalité que l'on donne ici à partir de l'appartenance, alors, dans un souci de cohérence de l'encyclopédie, il convient, dans l'article axiome d'extensionnalité de définir le dit axiome, non pas par la définition (1) ci-dessus mais par la propriété

• ${\displaystyle \forall a,\forall x,\forall y,(x=y\land x\in a)\Longrightarrow y\in a}$.

Ou bien on ne donne pas de définition de l'égalité, en considérant ZF comme un langage égalitaire, et alors on prend (1) comme axiome de l'extensionnalité relatif à une propriété de l'appartenance, mais pas comme définition de l'égalité. Bref, il y a un pb de cohérence entre les deux articles. Theon 11 mars 2006 à 16:04 (CET)[répondre]

Je suis d'accord avec cette remarque, j'ai réécrit de façon plus informelle le paragraphe, sans donner l'égalité extensionnelle comme une définition. Quelquechose à ce sujet devrait par ailleurs apparaître dans l'article axiome d'extensionnalité.Proz 18 décembre 2006 à 22:12 (CET)[répondre]

Il y a un contributeur sous IP qui semble bien aimer les listes non ordonnées, et qui veut les placer dans les articles de théorie des ensembles (voir "doublette" dans Discuter:couple (mathématiques)). Mais les listes non ordonnées, ce n'est pas une notion primitive en théorie des ensembles. C'est même un peu plus compliqué à définir que les suites finies. Pourquoi ne pas faire un article à ce sujet ? Mais il ne faut pas les introduire dans des articles de ce genre, pour régler d'une façon qui ne peut être satisfaisante, une petite ambiguïté sur le mot "paire". De plus le lemme appelé ici SP3 introduit une hypothèse inutile, de toute façon. Proz 2 septembre 2006 à 23:33 (CEST)[répondre]

En reprenant un terme ("flou") qui me semblait inadapté dans l'introduction, je me suis laissé entraîné plus loin. Il me semble que pour un article qui doit être plutôt introductif, celui-ci a une approche bien formelle, sur les ensembles finis par exemple. Il y a aussi un article paire, je ne crois pas que dans le présent article on ait besoin d'un paragraphe sur le sujet. Proz 18 décembre 2006 à 22:19 (CET) En regardant de plus près : ces "définitions en extension" d'ensembles infinis ne tiennent pas debout, on peut les garder, mais en tant que notations. Proz 22 décembre 2006 à 13:31 (CET) [modifié depuis dans ce sens][répondre]

J'ai fait deux petites modifs dans le début : sur les notations ensemble/éléments (maj/min), et disjonction entre ensembles "concrets" et l'exemple de 4 qui appartient à 2 ensembles distincts -- il me semble que cette précision restait trop implicite.

Par contre je n'ai pas osé souligner l'ambiguïté portée par la phrase "les éléments peuvent être de n'importe quelle nature": le lecteur non prévenu entendra qu'il y a des ensembles de ceci, des ensembles de cela, mais on pourrait entendre, et ce serait mathématiquement correct, que dans un même ensemble il peut y avoir des objets de nature diverse (des nombres et des fonctions, des points et des droites, des pommes et des livres..). Vaut-il mieux le laisser dans l'ombre ou le préciser (sachant que çà n'a guère de conséquences pratiques..)?

Plus bas, ajouté l'origine du choix du epsilon ; j'hésite sur le verbe grec correspondant : εστειν ?(+ esprit et accent, si quelqu'un se sent..)

--Fr.Latreille 22 février 2007 à 15:56 (CET)[répondre]

Il n'y a pas en théorie des ensembles de distinction à faire entre la nature des objets.

Un élément d'un ensemble est lui-même un ensemble ; un nombre est un ensemble ; une fonction est un ensemble ; et on peut considérer un ensemble comportant un élément et une fonction ; ... Pour faire court, tous les objets sont de même nature.

S'il y a des distinctions à faire entre des ensembles, elles se situent à un autre niveau, et n'est pas lieu d'être dans les "mathématiques ordinaires". Amha, la phrase "les éléments peuvent être de n'importe quelle nature" serait plutôt à supprimer.

Ekto - Plastor 22 février 2007 à 18:00 (CET)[répondre]

Même si en théorie des ensembles un entier est un ensemble, je ne pense pas qu'il faille commencer par là. Donc il vaut mieux signaler qu'un ensemble peut être composé de divers types d'objets. Par contre on peut laisser dans l'ombre le caractère possiblement hétérogène (si c'est vraiment utile, la définition de von Neumann des entiers ou des ordinaux par ex., on passe justement en théorie des ensembles où il n'y a plus que des ensembles). Proz 4 mars 2007 à 19:18 (CET)[répondre]

Lu ce qui précède ("Egalité et axiome d'extensionnalité").

Je crois que c'est l'ensemble du paragraphe qui est bancal. Je plains le lecteur non habitué qui verra deux ensembles, d'abord distincts, devenir "égaux", puis "identiques", puis se réduire à un seul...

AMHA, c'est le titre qui fait tout foirer : l'objet réel du paragraphe est Comment définir un ensemble. On peut parler de définitions en extension ou en compréhension, et noter que plusieurs définitions de l'un ou l'autre type peuvent aboutir à une même extensionnalité : on pourra alors parler au choix d' ensembles égaux ou d' un ensemble unique .

Quant à l'écriture "A = B ", on pourrait avantageusement la lire comme "A et B sont deux noms d'un même ensemble ".

--Fr.Latreille 22 février 2007 à 16:57 (CET)[répondre]

Deux ensembles sont les mêmes lorsqu'ils sont exactement les mêmes éléments. C'est clairement écrit, mais il y a trop de phrases inutiles autour.

L'axiome de l'identité des ensembles est sans nul doute le plus facile à comprendre. Un ensemble est défini uniquement par la donnée de ses éléments.

L'ensemble ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ est égal à ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ car les deux comprennent exactement les mêmes éléments.

Je ne comprends pas ton incompréhension.

Ekto - Plastor 22 février 2007 à 18:08 (CET)[répondre]

Ce qui me gêne c'est l'expression "deux ensembles sont les mêmes": il y en a un ou deux ? Dans ton exemple, ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ est évidemment le même que lui-même, mais est-il identiquement le même que ${\displaystyle \{3,2,1\}}$, ou lui est-il seulement égal ? Egalité, identité, unicité se confondent-elles ? (Moi je suis moi, mais pas identique à qui que ce soit!)

D'accord, il ne faut pas entrer ici dans des sophistications, mais ne pas suggérer non plus des confusions..

"Un ensemble est défini par la donnée de ses éléments"? Cette phrase n'a pas de sens s'il est défini par compréhension!

L'affaire, c'est que parfois on croit parler d' un autre ensemble et qu'ensuite on s'aperçoit que c'est le même. On a donné deux noms, et ces noms ne nomment qu'une chose.

Bon. Si, tu crois que je pinaille, j'arrête . Aux prochains lecteurs de dire s'ils sont satisfaits.. -- Fr.Latreille 22 février 2007 à 22:54 (CET)[répondre]

Je répète : deux ensembles sont dits égaux, identiques, être les mêmes objets, ... lorsqu'ils ont exactement les mêmes éléments, c'est l'axiome d'extensionnalité. (J'avais oublié le nom de cet axiome.) Par exemple, l'ensemble vide est uniquement défini, s'il existe. L'ensemble {1,2,3}, {3,2,1} ou l'esemble des valeurs prises par une suite périodique prenant successivement les valeurs 1; 1: 1; 2; 2; 3 sont exactement les mêmes en tous les sens du terme.

Evidemment, tu pourrais dire qu'au niveau des collections, deux collections pourraient être différentes et contenir exactement les mêmes objets.

Lorsque tu définis un ensemble par compréhension, tu le définis bien par les éléments qu'il contient : tu considères l'ensemble des ensembles appartenant à X vérifiant une certaine propriété.

Ekto - Plastor 24 février 2007 à 00:00 (CET)[répondre]

Toujours pas d'accord. Quand on dit qu'un ensemble a 2 éléments, ceux-ci sont distincts (sinon il n'en aurait qu'un); quand on dit (pas seulement toi, tout le monde) que "deux ensembles sont égaux", il n'y en a qu'un... et donc pas deux!

Je crois donc qu'il faut préciser, au besoin en note, que {1,2,3} et "l'ensemble des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à 4" (ou autre..) représentent le même ensemble, ou sont deux noms du même ensemble. Dire que ce sont deux ensembles est une facilité qu'on se permet pour éviter des périphrases.

Par contre je ne comprends pas l'idée que tu me prêtes sur les collections : si je conteste le fait que deux ensembles puissent être différents et contenir les mêmes éléments, ce n'est pas pour proposer que des "collections" aient ce droit.

Quant à la compréhension, je persiste à dire que définir un ensemble par une propriété caractéristique de ses éléments ce n'est pas donner ces éléments. On est à la limite du débat sur l'intuitionnisme et le constructivisme, choses évidemment hors de propos ici, mais pour moi cette phrase inutile, bien que commune, ne passe pas.

On continue?(ne te crois pas obligé..) -- Fr.Latreille 24 février 2007 à 17:30 (CET)[répondre]

L'égalité est une relation qui présuppose de mettre en jeu deux objets ... qui se trouvent être le même. Lorsqu'on parle de deux objets, on ne sous-entend pas a priori qu'ils sont distincts. Sinon, pourquoi dirait-on deux objets distincts ?

A priori, les collections ne vérifient rien, aucune propriété. Donc, les collections peuvent "avoir le droit" d'être différentes et de posséder les mêmes éléments. Pour les ensembles ce n'est pas le cas, puisque toute bonne théorie des ensembles contient au moins l'axiome d'extensionalité qui est la moindre des choses : il est normal d'affirmer l'égalité entre deux ensembles qui contiennent exactement les mêmes éléments (intuitionnisme ...).

Ekto - Plastor 24 février 2007 à 17:44 (CET)[répondre]

J'ai l'impression que c'est le sens de l'égalité qui est en jeu (syntaxe et sémantique disons) dans ces discussions plutôt que celui d'ensemble. Les définitions directe par extensionnalité ne vont pas très loin, ensembles finis, ensembles infinis donnés par un procédé d'énumération à la rigueur, mais se limiter à ça c'est "anti-cantorien". C'est bien à travers l'égalité, l'axiome d'extensionnalité ou un procédé analogue, que l'on définit l'extensionnalité en théorie des ensembles. Ceci dit ça peut sûrement être plus clair. Cet article doit être majoritairement une approche de la notion intuitive d'ensemble, et pas un article sur la théorie axiomatique (tout en restant en accord avec celle-ci). Proz 4 mars 2007 à 19:32 (CET)[répondre]

effectivement on navigue entre syntaxe et sémantique, et ce n'est pas l'objet de l'article. Cela étant, je crois qu'il est d'autant plus important de privilégier une phrase comme il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes (forme intiuitive de deux noms pour un objet unique), et éviter les cafouillages entre égaux et identiques (deux triangles égaux ne sont pas identiques!) -- et là je ne fais pas de la théorie axiomatique! -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:06 (CET)[répondre]

C'est pour cela qu'il est préférable de dire triangles semblables ; groupes isomorphes ; variétés difféomorphes ; ... On peut même préciser : le revêtement universel est bien défini à unique isomorphisme de revêtement près.

Bref, a été introduit un vocabulaire distinct pour parler d'égalité et d'identification ...

Evidemment, tout ça c'est de la sémantique, et on ne va pas bien loin avec toute cette histoire. Ekto - Plastor 4 mars 2007 à 23:27 (CET)[répondre]

L'égalité est utilisée au sens d'identité, c'est l'usage du signe "=" en math. On ne parle plus de triangles égaux au sens isométriques. Proz 4 mars 2007 à 23:47 (CET)[répondre]

Le epsilon a je crois plusieurs graphies dont l'une ressemble fort à l'appartenance. Vous êtes sûr de votre coup pour la forme ε utilisée par les logiciens anglo-saxons ? Ca ne serait pas eux qui ont adopté la forme actuelle ? Proz 4 mars 2007 à 19:38 (CET) PS. Le epsilon par défaut en TeX, qui devrait être la forme anglo-saxonne : ${\displaystyle epsilon:\ \epsilon }$.[répondre]

c'est surtout que ça manque de référence et d'ailleurs l'article n'en a aucune. Snif, encore un autre. Oxyde 4 mars 2007 à 21:00 (CET)[répondre]

le epsilon de l'article est celui (unique) de l'alphabet grec (intégré à WP, et figurant dans les grammaires grecques); je l'ai vu utilisé tel quel dans plusieurs livres en langue anglaise, mais j'avoue ne pas avoir les références. Donc OK pour supprimer ma phrase (en attendant mieux..) -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:06 (CET)[répondre]

Pour ma part, j'ignore l'origine du symbole d'appartenance, mais je ne saurais pas étonné d'apprendre qu'il dérive du epsilon. Ekto - Plastor 4 mars 2007 à 23:29 (CET)[répondre]

Pour ça aucun doute, Peano et les italiens de l'époque écrivent d'ailleurs ε et pas ∈. Proz 4 mars 2007 à 23:57 (CET)[répondre]

En ajoutant les références, j'ai "commenté" la traduction grecque de "je suis" : il faudrait traduire "est" ce que je ne sais pas faire. Ceci dit ce n'est pas non plus dans l'article de Peano de 1889. Proz 26 mars 2007 à 00:03 (CEST)[répondre]

en grec, "je suis" = ειμι ; "il est" = εστι ; "être" = ειναι (il manque l'esprit sur le epsilon, et l'accent); epsilon initial dans les 3 cas, je pense qu'il faudrait le signaler quand même.

A part çà, OK pour les modifs. -- Fr.Latreille 2 avril 2007 à 00:28 (CEST)[répondre]

Pourquoi avoir enlevé le mode mathématique ? C'est quand même beaucoup plus pratique puisque ça évite les problèmes de compatibilité entre les différents OS et navigateurs. Ban 26 mars 2007 à 01:21 (CEST)[répondre]

les deux modes étaient utilisés dans le §, suivant les lettres. J'ai harmonisé dans un sens (plus léger, et, sur le navigateur que j'utilise, plus agréable à l'oeil). Mais si ça pose encore des problèmes de compatibilité ... Sinon le \epsilon de TeX est traduit sur mon navigateur, au moins quand il est isolé pour le moment, en ε (unicode je suppose), ce qui correspond plutôt à \varepsilon. La plupart du temps on s'en moque, mais là justement non. Proz 26 mars 2007 à 10:24 (CEST)[répondre]

Désolé mon navigateur ne lit pas tous les symboles utf8. Oxyde 26 mars 2007 à 10:54 (CEST)[répondre]

J'ai remis le mode math au début de l'article, ça permet à ceux qui n'ont pas tous les caractères unicode de voir au moins à quoi ressemble le ${\displaystyle \in }$ et le ${\displaystyle \notin }$. Arct (d) 6 février 2008 à 18:06 (CET)[répondre]

J'ai enlevé un tableau d'ensembles de nombres qui était apparu dans l'article : ce dernier est consacré a priori à la notion d'ensemble, et ça me semble hors sujet. D'autre part un tel tableau (même les erreurs corrigées) est-il bien nécessaire ? Il n'était pas très cohérent (arithmétique par ex. nombres premiers, et réels ...), il y a des articles consacrés à chacune des notions du tableau, un modèle qui en regroupe la plupart ... Proz (d) 31 mai 2009 à 20:53 (CEST)[répondre]

J'ai ajouté les ensembles définis par une image directe car il faut se metre à la page.--Palustris (d) 15 novembre 2009 à 15:16 (CET)[répondre]

Très bien (il faudrait peut-être harmoniser avec le paragraphe précédent, qui en parlait un peu). Il y a quand même une chose qui me fait tiquer, c'est l'appel au remplacement. Si (E_i)_{i\in I} est une famille définie comme un graphe, un ensemble de couples vérifiant les bonnes propriétés, son image est un ensemble simplement en projetant, par compréhension (voir couple (mathématiques)). La réunion des E_i est un ensemble soit E, et le produit se définit donc par compréhension, comme partie de E^I (a priori le remplacement est un schéma d'axiomes qui sert surtout aux théoriciens des ensembles). Proz (d) 15 novembre 2009 à 17:21 (CET)[répondre]

Je ne suis pas specialiste en théorie des ensembles, mais il me semble que tu as reaison.--Palustris (d) 22 novembre 2009 à 16:01 (CET)[répondre]

En fait les ensembles définis par image directe y étaient déjà dans le paragraphe sur la compréhension, qui n'était plus très cohérent, avec des commentaires qui étaient restés. J'ai harmonisé et enlevé la référence au remplacement. Proz (d) 13 février 2010 à 01:33 (CET)[répondre]

Il vaut mieux ne pas mettre côte à côte deux liens internes vers le même article, surtout sous deux dénominations différentes (comme ici : deux liens vers "totalité", l'un nommé "tout" et l'autre "omnis"). Mais surtout, d'après mes connaissances toutes fraîches (merci pour le nouvel article sur la totalité ! ), ensemble serait plutôt totum que omnis, puique la fin (non traduite d'ailleurs, mais je reconnais que la syntaxe allemande est pénible) de la citation de Cantor est "zu einem Ganzen" (or dans l'article "totalité" je lis : "Christian Godin [...] totus correspondrait à [...] l'allemand Ganzheit". Je propose de remplacer la phrase actuelle par (avec en plus le modèle:Lang et en moins le symbole m) :

En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout » , comme l'énonçait son principal initiateur, le mathématicien Georg Cantor : « Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen » : « Par ensemble, nous entendons toute une collection M vue comme un tout (au sens de totum) d'objets de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts (ces objets étant appelés les éléments de M). »

Pour la même raison je propose, dans l'article "totalité", de ne pas placer un lien vers "ensemble" quand ce mot est utilisé pour parler de omnis.

Anne Bauval (d) 22 octobre 2010 à 10:02 (CEST)[répondre]

Je suis etonné de la suppression du lien au portail de la philosophie. Je pense que ça demande une explication à qui l'a supprimé. Est-ce qu'on pense que l'ensemble n'a rien avec la philosophie??? Eduardofeld (d) 17 juin 2012 à 20:13 (CEST)[répondre]

Comme beaucoup de notions mathématiques .. J'ai été moi-même étonné de trouver ce portail, celui de logique m'a semblé plus adapté. Il faut bien aussi délimiter les domaines. Je ne crois pas non plus qu'il y ait à surcharger vers des articles sur les oeuvres de Russell (imaginez que l'on ajoute celles de Cantor, Frege, Dedekind, Zermelo, etc.). Proz (d) 17 juin 2012 à 21:19 (CEST)[répondre]

Il y a des notions mathématiques qui sont plus liées à la philosophie que la majorité. Si on ajoute le portail philosophie à l'article sur l'équation différentielle, je suis d'accord que ça c'est surchargé, mais concepts comme nombre et ensemble appartiennent à la philosophie des mathématiques. Combien à l'oeuvres de Russell, il y a une relation intime entr'elles et les concepts de la philosophie des mathématique, donc je ne pense pas que ses inclusion impliquent nécessairement à l'inclusion d'autres auteurs (comme, par example, notions de calcul intégral sont liées à Newton). Combien aux liens, il me semble que c'est une question culturelle du projet francophone (il n'y a de discussions débordées sur liens ni au en ni au pt projet), donc je promets d'être économe aux liens. Mais combien au portail, sincèrement, je ne suis pas encore convaincu de l'admissibilité de sa suppression. Eduardofeld (d) 17 juin 2012 à 21:40 (CEST)[répondre]

Je trouve que le portail logique est plus précis que le portail philo au sens suivant : je ne connais pas de philosophes parlant de la notion d'ensemble qui ne puissent aussi être qualifiés de logiciens ; ce qui est une proportion infime des philosophes. --Epsilon0 ε₀ 17 juin 2012 à 22:32 (CEST)[répondre]

Ok, d'accord. Eduardofeld (d) 18 juin 2012 à 00:41 (CEST)[répondre]

Un recueil d'articles de Cantor traduits en français (à l'époque, ils ont également expurgé quelques considérations philosophiques) et disponible sur Gallica, sauf erreur. Proz (d) 18 juin 2012 à 20:23 (CEST)[répondre]

Le second alinéa de l'introduction commence par une phrase incompréhensible :

« Dans une approche axiomatique de la théorie des ensembles, qui est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit appartenir à cet ensemble). »

Pas de proposition principale correctement constituée ; il n'y a pas de verbe, et il ne suffirait pas de faire sauter les parenthèses : la phrase deviendrait syntaxiquement correcte, mais continuerait à ne pas avoir de sens. S'agirait-il d'une traduction automatique (ce qui expliquerait sans doute cet amphigouri) ? Quoiqu'il en soit, il n'est pas facile de deviner l'idée que cherchait à exprimer le rédacteur. En conséquence, toute proposition de correction est impossible.

Par comparaison, la résolution de l'homonymie serait vraiment un problème mineur.

Lord O'Graph (discuter) 14 août 2013 à 14:04 (CEST)[répondre]

Bonjour.
Je tiens d'abords à préciser que je ne suis pas du tout spécialiste de la logique. Je me suis juste vaguement intéressé à deux ou trois notions qui peuvent être utilisée dans d'autres domaines des mathématiques, dans ce qui suit, j'explique ce que je crois avoir compris, et je me suis peut-être planté.

 De ce que j'ai compris, on a défini en logique la notion d'ensemble comme une restriction de la notion de classe. En gros une classe peut contenir à peu près n'importe quoi, alors qu'un ensemble n'a par exemple pas le droit de contenir à la fois un élément "a" et un ensemble "A" auquel "a" appartient. Par exemple: 
 -"L'ensemble" des ensembles, n'est pas un ensemble mais une classe (si on a un ensemble E, E et P(E) appartiennent sont des ensembles et $E \in P(E) ) 
 -Un ordinal non réduit à l'ensemble vide n'est clairement pas un ensemble, de même la classe des ordinaux n'est pas un ensemble.
 
 En revanche, comme cité précédemment si E est un ensemble P(E) est aussi un ensemble (car on distingue un objet et un ensemble le contenant, même si il ne contient que lui, il y a donc une différence entre les notions d'appartenance et d'inclusion).

Si ce que j'ai écrit dans l'encadré est juste, je crois qu'il serait important de créer une section pour expliquer que les ensembles sont des classes respectant des règles assez stricts (je ne connais qu'une règle, mais il y en a peut-être plus) et même de le signaler dés l'introduction.
Comme vous l'avez constaté, je ne suis pas du tout sûr de mon coup. Si des modifications sont nécessaires, je veux bien y contribuer, mais je veux d'abords un avis d'expert.

Cordialement --Un autre type (discuter) 3 avril 2018 à 12:38 (CEST)[répondre]

C'est faux : {∅, {∅}} est bien un ensemble par exemple, voir Classe (mathématiques) Proz (discuter) 6 décembre 2018 à 01:51 (CET)[répondre]

Oui, {∅, {∅}} est comme chacun sait, un ensemble, plus connu, modulo le codage de von Neumann, comme le nombre 2.

Aussi  Un autre type : dans certaines axiomatisations alternatives de la théorie des ensembles, un ensemble peut appartenir à lui même, voyez Axiome d'anti-fondation.

Sinon, si vous souhaitez une distinction, disons, intuitive (car formaliser la distinction mènerait à une régression à l'infini : ensemble, classe, collection, collection de niveau 2, etc, cf théorie des types), entre ensemble et classe, on peut utiliser (mais il y a d'autres (méta- ?)théories distinguant ensemble et classe) :

* tout ensemble (au sens ZF ) est une classe

* une classe est un ensemble ssi elle appartient à une autre classe.

--Epsilon0 ε₀ 6 décembre 2018 à 22:23 (CET)[répondre]