Catégorie des groupes abéliens

En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

• Les objets sont les groupes abéliens ;
• Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes.

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ :

${\displaystyle \mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod} }$.

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe ${\displaystyle U:\mathrm {Ab} \to \mathrm {Set} }$. Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre ${\displaystyle F:\mathrm {Set} \to \mathrm {Ab} }$ qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

• Ab est concrète ;
• Ab est une catégorie complète et cocomplète ;
• Ab est préadditive et additive ;
• Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ;
• Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ;
• Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ;
• Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ;
• Ab est une catégorie de Grothendieck (en) ;

• L'objet initial, final et zéro de Ab est le groupe trivial 1 ;
• Les objets injectifs (en) de Ab sont les groupes divisibles^[1] ;
• Les objets projectifs sont les groupes abéliens libres ;
• Ab n'a pas d'objet exponentiel ;
• Le générateur projectif de Ab est ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ;
• Le cogénérateur injectif de Ab est ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ;

• Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
• Les épimorphismes sont les morphismes de groupes surjectifs ;
• Les isomorphismes sont les morphismes de groupes bijectifs ;

• Le produit dans Ab est le produit direct de groupes ;
• Le coproduit dans Ab correspond à la somme directe de groupes ;
• Le noyau correspond au noyau au sens algébrique ;
• Le conoyau d'un morphisme f : A → B est le groupe quotient B/f(A).

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

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