Endomorphisme
En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou homomorphisme) d'un objet mathématique dans lui-même. Ainsi, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : E → E, et un endomorphisme de groupe G est un morphisme de groupes f : G → G, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quelle catégorie.
Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type X → X), la composée de g par f, notée f ∘ g (prononcer f rond g), est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type X → X). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté EndC(X) ou simplement End(X), si la catégorie est connue.
Anneau des endomorphismes
[modifier | modifier le code]Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes (en) de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, des espaces vectoriels, et plus généralement dans toutes les catégories préadditives (en).
Automorphismes
[modifier | modifier le code]Un isomorphisme est un morphisme qui possède un morphisme réciproque, on peut dire que c'est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme.
On a donc les implications suivantes :
| automorphisme | ⇒ | isomorphisme |
| ⇓ | ⇓ | |
| endomorphisme | ⇒ | (homo)morphisme |
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Endomorphisme linéaire (ou Endomorphisme d'espace vectoriel)
- Réduction d'endomorphisme
