Racine carrée de trois

• Il existe deux nombres réels opposés dont le carré est 3 ; autrement dit : 3 possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  désigne la racine carrée positive de 3, et nécessairement, ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$  désigne la racine carrée négative de 3. Mais ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  se lit simplement racine carrée de trois, voire plus simplement racine de trois. Dans le corps des nombres complexes, la notation ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  désigne la détermination principale de la racine carrée prise au point 3. Le symbole ${\displaystyle {\sqrt {\quad }}}$  ou ${\displaystyle \surd }$  s’appelle un radical.
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  se note également ${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$ , qui se lit trois puissance un demi.
• Dans les langages informatiques, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  s'écrit en général sqrt(3), par exemple Math.sqrt(3)en JavaScript.

La racine carrée de 3 est irrationnelle, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait (voir l'article détaillé pour des démonstrations).

Au V^e siècle av. J.-C., Théodore de Cyrène aurait démontré des résultats d'incommensurabilité correspondant à l'irrationnalité des racines carrées des entiers de 3 à 17^[1],[2].

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1{,}732~050~8\cdots }$  ; ses décimales forment la suite A002194 de l'OEIS.

Dix milliards de décimales ont été calculées en 2013^[3].

On conjecture que, comme tout irrationnel algébrique, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur^[4].

La méthode de Bombelli utilisant pour ${\displaystyle a>0}$  la relation ${\displaystyle {\sqrt {3}}=a+{\frac {3-a^{2}}{a+{\sqrt {3}}}}}$  permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+{\frac {3-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {3-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {3-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }$ 

Pour ${\displaystyle a=1}$ , on obtient :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+\cdots }$ ^[5].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de √3 (suite A040001 de l'OEIS) :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1,1,2,1,2,\dots ]=[1,{\overline {1,2}}]}$ .

Ce développement est bien périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les neuf premières réduites communes à ces deux développements sont :${\displaystyle \ u_{0}=1,\ 2,\ {\frac {5}{3}},\ {\frac {7}{4}},\ {\frac {19}{11}},\ {\frac {26}{15}},\ {\frac {71}{41}},\ {\mathbf {\frac {97}{56}}},\ u_{8}={\frac {265}{153}}.}$ 

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de √3.

Elles forment la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ , récurrente homographique, définie par : ${\displaystyle \ u_{0}=1,\ u_{n+1}=1+{\frac {2}{1+u_{n}}}={\frac {u_{n}+3}{u_{n}+1}}}$ .

Les deux sous-suites ${\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}$  sont adjacentes de limite ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  et l'on a ${\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {3}}<u_{2n+1}}$ .

On en déduit l'encadrement : ${\displaystyle \ u_{8}={\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}=u_{11}}$  qui était connu d'Archimède^[6],[7]; pour fixer les idées : ${\displaystyle \ u_{8}\approx 1{,}732~026\ ;u_{11}\approx 1{,}732~051}$ .

Le rationnel ${\displaystyle u_{n}}$  est égal à ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$  où ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$  sont les entiers définis par ${\displaystyle (1+{\sqrt {3}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {3}}}$ , les suites, ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$  étant définies par ${\displaystyle a_{0}=b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=a_{n}+3b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\end{cases}}}$ ^[5].

On en déduit les expressions explicites^[5] :

• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 0,\ u_{n}={\sqrt {3}}{\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}+(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}{(1+{\sqrt {3}})^{n+1}-(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}}}$ 
• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 2,\ u_{n}={\frac {\left\lfloor (1+{\sqrt {3}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}}{\sqrt {3}}}\right\rceil }}}$ , où ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil }$  signifie l'entier le plus proche de ${\displaystyle x}$ .

Les numérateurs réduits des ${\displaystyle u_{n}}$  forment la suite A002531 de l'OEIS, et les dénominateurs réduits la suite A002530 de l'OEIS.

La méthode de Bombelli pour ${\displaystyle a=2}$  conduit à la fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {3}}=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}=[2,{\overline {-4,4}}]}$  dont la suite des réduites est la sous-suite ${\displaystyle (u_{2n+1})}$  de ${\displaystyle (u_{n})}$ ^{[réf. nécessaire]} .

La méthode de Héron fournit une suite, dite suite de Héron^[8], qui converge vers la racine carrée d'un nombre réel positif ${\displaystyle a}$ . Quand a = 3 cette suite, convergeant vers √3, est définie par : ${\displaystyle \ v_{0}=1,\ v_{n+1}={\frac {v_{n}+{\frac {3}{v_{n}}}}{2}}}$ .

Ses premiers termes sont : ${\displaystyle \ 1,\ 2,\ {\frac {7}{4}},\ v_{3}={\frac {97}{56}}\approx 1{,}7321}$  (approximation à 10^-4 près de √3).

Les numérateurs de cette suite forment la suite A002812 de l'OEIS, et ses dénominateurs la suite A071579 de l'OEIS.

La suite ${\displaystyle (v_{n})}$  est une sous-suite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$  des réduites de la fraction continue de √3. Plus précisément : ${\displaystyle \ v_{n}=u_{(2^{n}-1)}}$ ^[5],[8] .

La suite ${\displaystyle (v_{n})}$ , pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ , décroît rapidement vers √3 (convergence quadratique).

La suite associée ${\displaystyle \left({\frac {3}{v_{n}}}\right)}$  converge en croissant vers √3 d'où l’encadrement pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$  :

${\displaystyle {\frac {3}{v_{n}}}<{\sqrt {3}}<v_{n}}$ .

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{6^{n}}}}$  ; voir Coefficient binomial central, Série génératrice.

• ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}$  ; voir Radical imbriqué, Racine carrée.
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3\cdots }}}}}}\ ,\ }$  car ${\displaystyle \ {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}$ .

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  admet plusieurs expressions trigonométriques :

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\tan {\frac {\pi }{3}}=\cot {\frac {\pi }{6}}=2\sin {\frac {\pi }{3}}=2\cos {\frac {\pi }{6}}=\ 2-\tan {\frac {\pi }{12}},\quad }$  où ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}},}$  et ${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$  sont des angles exprimés en radians ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{12}}\ \mathrm {rad} =15^{\circ }\right).}$ 

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  est un nombre algébrique de polynôme minimal ${\displaystyle X^{2}-3}$ , donc un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Les racines cubiques de l'unité sont : ${\displaystyle \ 1,\ {\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}\ }$  et ${\displaystyle \ {\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}.}$ 

• La diagonale d'un cube de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ .
• La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$  . Ceci donne un moyen de construction de ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes :
  • l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}/4}$  ; l'aire d'un tétraèdre régulier de côté 1 vaut donc ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  ;
  • la distance entre deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté 1 vaut ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  ;
  • ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  est le rapport des longueurs des diagonales d'un losange d'angles 60° et 120° ;
  • ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure Vesica piscis.

•  
  Diagonale d'un cube unité.
•  
  Proportions entre le côté d'un triangle équilatéral et sa hauteur.
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  Hexagone avec ses cotes relatives.
•  
  Vesica piscis avec son losange 60°-120° inscrit : ${\displaystyle \ CD/AB={\sqrt {3}}}$ .

Le rectangle de format (rapport longueur sur largeur) ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  est étudié dans le cadre de la symétrie dynamique (en). Jay Hambridge (en) en fait l'objet de la leçon 8 de son ouvrage Elements of Dynamic Symmetry^[9] et lui donne le nom de root-three rectangle. Lacey Davis Caskey (de) analyse leur présence dans la silhouette de vases grecs^[10], tandis que Rachel Fletcher la recherche dans l'œuvre d'Andrea Palladio^[11]. Wolfgang von Wersin (de) en fait le 11^e des 12 rectangles remarquables (les orthogones) qu'il étudie dans son ouvrage Das Buch vom Rechteck: Gesetz und Gestik des Räumlichen. Il lui donne le nom de Sixton^[12]. Ce rectangle se construit à partir de la moitié d'un triangle équilatéral et a même aire que celui-ci. Une autre construction possible consiste à partir d'un carré, à construire un rectangle de format ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  (format A4), servant à construire le rectangle final^[13], il se partage aisément en trois rectangles de même format ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ^[14] et se trouve naturellement inscrit dans un hexagone^[15].

•  
  Construction d'un rectangle de format ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ .
•  
  Découpe du rectangle en trois rectangles de mêmes proportions.
•  
  Rectangle de format ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$  inscrit dans un hexagone.

• Somme quadratique de Gauss
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de deux
• Racine carrée de cinq
• Racine carrée de six
• Racine carrée de sept

•   Arithmétique et théorie des nombres