Polynôme minimal (théorie des corps)

Ici K désigne un corps et L une extension de K, c'est-à-dire un corps contenant K.

Un élément a algébrique de L sur K est un élément de L racine d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Étant donné deux polynômes qui ont a pour racine, le reste par la division euclidienne de l'un par l'autre a encore a pour racine. Par conséquent les polynômes de degré minimal qui ont pour racine a sont proportionnels, et un tel polynôme divise tous les polynômes qui annulent a.

Un tel polynôme est également irréductible, car si le produit de deux polynômes (à coefficients dans un corps) s'annule sur a, l'un des deux s'annule (un corps est en particulier intègre). On a unicité en choisissant ce polynôme unitaire, c'est-à-dire que le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1.

On peut donc définir le polynôme minimal de a, élément algébrique de L sur K^[1] :

• le polynôme minimal de a sur K est le polynôme unitaire de plus bas degré à coefficients dans K admettant a pour racine ;
• le polynôme minimal de a sur K est aussi l'unique polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K qui admet a pour racine ;
• le polynôme minimal de a sur K est également l'unique polynôme unitaire à coefficients dans K qui admet a pour racine, et qui divise tous les polynômes qui ont pour racine a.

Dit autrement, l'anneau K[X] des polynômes sur K est un anneau euclidien donc principal. L'idéal des polynômes qui ont pour racine a est principal et donc^[1] :

• le polynôme minimal de a sur K est l'unique polynôme unitaire qui engendre l'idéal des polynômes de K[X] qui annulent a.

Comme a est algébrique, K(a), le plus petit sous-corps de L contenant K et a, est l'anneau K[a], et il est isomorphe au corps de rupture K[X]/(P) du polynôme minimal P de a, c'est-à-dire que la structure de K(a) est déterminée par le polynôme minimal de a. Le degré de a, qui est le degré de l'extension K(a) de K, est également le degré du polynôme minimal de a.

Les lettres ℂ, ℝ et ℚ désignent respectivement les corps des complexes, réels et rationnels.

• Tout élément k du sous-corps K est algébrique sur K, de polynôme minimal X – k.
• Tout nombre complexe non réel a + ib (avec a et b réels et b non nul) est algébrique sur ℝ, de polynôme minimal X² – 2a X + a² + b².
• L'unité imaginaire i a même polynôme minimal sur ℝ et ℚ, à savoir X² + 1.
• La racine carrée de deux, √2, est un nombre algébrique de polynôme minimal X² – 2 sur ℚ (différent de son polynôme minimal sur ℝ qui est X – √2).
• Le nombre algébrique √2 + √3 a pour polynôme minimal (sur ℚ) X⁴ − 10X² + 1 = (X - √2 - √3)(X - √2 + √3)(X + √2 + √3)(X + √2 - √3) (la minimalité découle de ce que le produit de deux de ses facteurs n'est pas dans ℚ[X], les racines du polynôme étant opposées 2 par 2).
• Les nombres transcendants (non-algébriques), comme π (théorème de Lindemann) n'ont donc pas de polynôme minimal sur ℚ.
• Si le polynôme unitaire P est irréductible sur K, il est le polynôme minimal de l'élément de son corps de rupture K[X]/(P) qui est la classe de X modulo P.
• Par exemple, 𝔽₂ étant le corps fini à 2 éléments, le polynôme X² + X + 1 de 𝔽₂[X] est irréductible ; en notant 𝔽₄ son corps de rupture (le corps fini à 4 éléments) et j la classe de X modulo ce polynôme, alors X² + X + 1 est le polynôme minimal de j, et également de j+1.
• Le n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est unitaire et irréductible dans ℚ[X] : c'est le polynôme minimal sur ℚ de chacune de ses racines, les racines primitives n-ièmes de l'unité e^2ikπ/n, k premier avec n.
• Un entier algébrique est par définition un nombre algébrique dont le polynôme minimal est à coefficients entiers.

Ici K est un corps, L une extension de K et m un élément de L.

Dans l'article « Corps de rupture », en utilisant que l'anneau K[X] est euclidien donc principal, on démontre :

• Soit P un polynôme irréductible et unitaire de K[X], alors il existe une extension de K, de degré égal au degré de P, contenant un élément dont P est le polynôme minimal.

Les propriétés suivantes sont démontrées dans l'article détaillé.

• Si m est algébrique sur K et si son polynôme minimal est de degré n, alors toute extension contenant m est de degré infini ou multiple de n et la plus petite est de degré n.
  Cette propriété permet par exemple de démontrer que la trisection de l'angle ou la duplication du cube est en général impossible à la règle et au compas (cf. l'article « Tour d'extensions quadratiques »).
• Si m est algébrique sur une extension finie de K, alors m est algébrique sur K.
• Si m₁ et m₂ sont algébriques sur K, alors m₁ m₂ et m₁ + m₂ le sont aussi, et m₁^–1 l'est aussi si m₁ est non nul.

Un élément algébrique sur K est dit séparable (sur K) si toutes les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension où ce polynôme est scindé, sont simples.

Une extension algébrique de K est dite séparable si tous ses éléments le sont. C'est toujours le cas si K est parfait, par exemple si K est fini ou de caractéristique nulle.

Les extensions séparables possèdent des propriétés importantes, comme le théorème de l'élément primitif :

• Toute extension finie séparable est simple,

c'est-à-dire qu'elle contient un élément qui engendre l'extension, ou encore, dont le polynôme minimal est de degré égal au degré de l'extension.

Dans tout ce paragraphe, on suppose que L est une extension finie de K et pour tout élément m de L, on note φ_m l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui à x associe mx.

Le polynôme minimal de φ_m est aussi le polynôme minimal de m, puisque pour tout polynôme Q de K[X], Q(φ_m) = φ_Q(m).

On appelle polynôme de caractéristique de m relativement à l'extension L de K, le polynôme caractéristique de l'endomorphisme φ_m.

De la même façon, par définition, la norme de m relativement à l'extension L de K, est le déterminant de φ_m, et la trace de m relativement à l'extension L de K est la trace de l'endomorphisme φ_m^[2].

Même si ces trois notions dépendent non seulement de m mais de L (et de K), quand le contexte est clair, on parle simplement du polynôme caractéristique, de la norme, et de la trace de m^[2].

Dans la suite le polynôme minimal de m est noté P_m, et son polynôme caractéristique χ_m.

Soit ψ_m la restriction de φ_m à K[m], le corps de rupture P_m, polynôme minimal de m. Si d est le degré de P_m, le K-espace vectoriel K[m] a pour base (1, m, m², … , m^{d – 1}), et la matrice M_K[m] de ψ_m dans cette base est la matrice compagnon de P_m, dont le polynôme caractéristique est égal à P_m.

Soit d'autre part (l₁, … , l_n) une base du K[m]-espace vectoriel L. Alors, la famille des mⁱl_j, pour i variant de 0 à d – 1 et j de 1 à n, forme une base du K-espace vectoriel L, dans laquelle la matrice M_L de φ_m s'écrit par blocs :

Le polynôme caractéristique χ_m de m relativement à l'extension L de K est alors une puissance du polynôme minimal P_m :

• si L est de degré n sur K[m], alors :

(on obtient ainsi le théorème de Cayley-Hamilton dans ce cas très particulier).

La norme de m relativement à l'extension L de K est en général notée N_L/K(m). Par définition, c'est un élément de K, égal au coefficient constant du polynôme caractéristique de m au signe éventuellement près (multiplié par (-1)ⁿ). C'est aussi le produit des racines de χ_m (comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χ_m est scindé).

Quand φ_m est définie sur l'extension K[m], son polynôme minimal est le polynôme minimal de m et donc :

• la norme d'un élément m relativement à l'extension K[m] est le produit des racines de son polynôme minimal.

Étant donné l'expression du polynôme caractéristique en fonction du polynôme minimal ci-dessus on a:

• si L est de degré n sur K[m], la norme de m relativement à l'extension L de K est égale à la norme m relativement à l'extension K[m] à la puissance n, donc au produit des puissances n-ièmes des éléments conjugués de m.

La trace est de m relativement à l'extension L de K est souvent notée Tr_L/K(m). C'est, comme la norme, un élément de K, opposé au coefficient sous-dominant de χ_m qui, dans le cas particulier L = K[m], n'est autre que le polynôme minimal de m.

L'application qui à deux éléments a et b de L associe la trace de ab est appelée forme trace. Elle joue un rôle important en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant.

Supposons que R est un anneau factoriel dont le corps des fractions est K, et que X₁, X₂, ..., X_n sont n variables indépendantes.

Si x₁, x₂, … , x_n sont n éléments tels que le degré de transcendance de l'extension K(x₁, x₂, … , x_n) est égal à n – 1, alors l'idéal des polynômes P de R[X₁, X₂, ..., X_n] s'annulant en (x₁, x₂, … , x_n) est principal^[3].

Pratiquement, ce théorème se traduit de la façon suivante : si x₁, x₂, … , x_n–1 sont algébriquement indépendants, et si x_n est tel qu'il existe un polynôme Q à coefficients dans R vérifiant Q(x₁, … , x_n–1, x_n) = 0, alors il existe un certain polynôme P à coefficients dans R, unique à la multiplication près par une unité de R, s'annulant en (x₁, x₂, … , x_n), et tel que tout autre polynôme à coefficients dans R s'annulant en ce point est divisible par P dans R[X₁, X₂, ..., X_n].

Dans le cas où n = 1, le degré de transcendance de x₁ est 0 et l'on obtient la proposition suivante^[4] :

Si x est un élément algébrique sur K, alors, à la multiplication près par une unité de R, il existe un unique polynôme P à coefficients dans R tel que tout polynôme de R[X] s'annulant en x est divisible par P dans R[X].

On voit d'ailleurs que ce polynôme ne peut être que le polynôme minimal Q de x sur K, multiplié par le plus petit commun multiple des dénominateurs des coefficients de Q, de façon à le rendre primitif.

• Antoine Chambert-Loir, Algèbre corporelle, Éditions de l’École Polytechnique, 2005 (lire en ligne)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

Galois

• Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
• (en) Emil Artin, Galois Theory, Notre Dame Press, Londres, 1971
• (en) Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, AMS, 2006

Arithmétique

• C. F. Gauss (trad. Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle), Recherches arithmétiques [« Disquisitiones arithmeticae »], 1801
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques, un cas particulier de polynôme minimal d'un nombre algébrique

Galois

• Le théorème fondamental de la théorie de Galois par B. le Stum, université de Rennes 1, 2001
• Un cours de DEA sur la théorie de Galois par A. Kraus, université Paris VI, 1998
• Trace, formes quadratiques et extensions de corps par Y. Coudene, université de Rennes 1, 2003

Arithmétique

• Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1, 2004 (lire en ligne)
• Eugène Cahen, « Sur l'arithmétique du corps de tous les nombres algébriques », dans Bull. SMF, vol. 56, 1928, p. 7-17

•   Arithmétique et théorie des nombres