Alterna serio

En matematiko, alterna serio estas malfinia serio de formo

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}$

kun a_n ≥ 0 por ĉiuj n (aŭ a_n ≤ 0 por ĉiuj n). Finia sumo de ĉi tiu speco estas alterna sumo. Alterna serio konverĝas se la termoj a_n konverĝas al 0 monotone. La eraro E de aproksimado de la alterna serio per ĝia parta sumo de n eroj estas ne pli granda ol la unua nesumigita ero:

|E| < |a_n+1|

Sufiĉa kondiĉo por ke la serio konverĝu estas ke ĝi konverĝas absolute. Sed ĉi tiu estas ofte tro forta kondiĉo, ĝi estas ne necesa. Ekzemple, la harmona serio

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}}$

malkonverĝas, sed ĝia la alterna versio

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}}$

konverĝas al log 2.

Pli ofte donanta jesan rezulton provo por konverĝo de alterna serio estas alterna seria provo: se la vico a_n estas monotone malkreskanta kaj strebas al nulo, tiam la serio

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}$

konverĝas.

Pruvo

Estu partaj sumoj

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}}$

Se la vico a_n strebas al nulo kaj estas monotona malkreskanta (almenaŭ ekde certa n), eblas montri ke la vico de partaj sumoj estas koŝia vico. Alprenante ke m<n,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}}$

(tio ke la vico estante monotona malkreskanta garantias ke ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}>0}$; Notu, ke formale oni bezonas enkalkuli ĉu n estas para aŭ nepara, sed ĉi tio ne ŝanĝas la ideon de la pruvo)

Ĉar ${\displaystyle a_{m+1}\rightarrow 0}$ kiam ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$, la vico de partaj sumoj estas koŝia vico, kaj tiel la serio estas konverĝa. Pro tio ke la pritakso pli supre ne dependas de n, ĝi ankaŭ montras ke

${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.}$

Konverĝa alterna serio kiu ne konverĝas absolute estas ekzemplo de kondiĉa konverĝa serio. Tiam rimana seria teoremo aplikeblas al ĝia reordigoj.