Alterna seria provo

La alterna seria provo estas maniero por provi ĉu malfinia serio de eroj konverĝas. Ĝi estis esplorita de Gottfried Wilhelm Leibniz kaj estas iam sciata kiel provo de Leibniz aŭ kriterio de Leibniz.

Serio de formo

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}\!}$

kie ĉiu a_n≥0, estas alterna serio. Se la vico a_n konverĝas al 0, kaj ĉiu a_n estas pli malgranda ol a_n-1 (kio estas ke la vico a_n estas monotona malkreskanta), do la serio konverĝas. Se L estas sumo de la serio

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L\!}$

do la parta sumo

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}\!}$

aproksimas plenan sumon L kun eraro

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}}$

Eblas ke serio verigas ĉi tiun lastan kondiĉon pri partaj sumoj S_k sed la serio ne estas alterna, ekzemple:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(1/3)^{n}=1/2}$