Δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Θέτει τρία ξεχωριστά ερωτήματα σχετικά με τα πλέγματα και το πακετάρισμα σφαιρών στον Ευκλείδειο χώρο^[2].

Το πρώτο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλές ουσιαστικά διαφορετικές ομάδες χώρου στον ${\displaystyle n}$-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το συγκεκριμένο ερώτημα απαντήθηκε καταφατικά από τον Μπίμπερμπαχ^[3].

Το δεύτερο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχει ένα πολύεδρο που να καλύπτει τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αλλά να μην είναι η θεμελιώδης περιοχή^[4] οποιασδήποτε ομάδας χώρου- δηλαδή, που να καλύπτει αλλά να μην επιτρέπει ισοεδρική (μεταβατική) κάλυψη. Τέτοια πλακίδια είναι τώρα γνωστά ως ανισοεδρικά^[5]. Θέτοντας το πρόβλημα σε τρεις διαστάσεις, ο Χίλμπερτ πιθανότατα υπέθετε ότι δεν υπάρχει τέτοιο πλακίδιο στις δύο διαστάσεις- η υπόθεση αυτή αποδείχθηκε αργότερα εσφαλμένη.

Το πρώτο τέτοιο κεραμίδι σε τρεις διαστάσεις ανακαλύφθηκε από τον Καρλ Ράινχαρντ το 1928^[1]. Το πρώτο παράδειγμα σε δύο διαστάσεις ευρέθη από τον Χες (Heesch )^[6] το 1935.^[7] Το σχετικό πρόβλημα του Αϊνστάιν^[8] απαιτεί ένα σχήμα που να μπορεί να πλακιδώσει το χώρο αλλά όχι με άπειρη κυκλική ομάδα συμμετριών.

Στο τρίτο μέρος του προβλήματος ζητείται η πυκνότερη συσκευασία σφαιρών ή άλλων καθορισμένων σχημάτων. Αν και περιλαμβάνει ρητά και άλλα σχήματα εκτός από σφαίρες, θεωρείται γενικά ισοδύναμο με την εικασία του Κέπλερ.^[9]

Το 1998, ο Αμερικανός μαθηματικός Τόμας Κάλιστερ Χέιλς^[10] έδωσε μια απόδειξη της εικασίας Κέπλερ^[9] με τη βοήθεια υπολογιστή. Δείχνει ότι ο πιο αποδοτικός τρόπος για να πακετ��ριστούν οι σφαίρες είναι σε σχήμα πυραμίδας. ^[11]

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους
• Προβολικός χώρος
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Μαθηματική ανάλυση
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δευτεροβάθμια εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία αριθμών
• Ισοσκελές τρίγωνο

• Terras, Audrey (6 Δεκεμβρίου 2012). Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3820-1. 
• Hacking, Ian (30 Ιανουαρίου 2014). Why Is There Philosophy of Mathematics At All?. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-05017-4. 
• Odifreddi, Piergiorgio (22 Οκτωβρίου 2006). The Mathematical Century: The 30 Greatest Problems of the Last 100 Years. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12805-4. 
• Delone, Boris Nikolaevich (1993). Discrete Geometry and Topology: On the 100th Anniversary of the Birth of Boris Nikolaevich Delone : Collection of Papers. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3147-2. 
• Klarner, David A. (6 Δεκεμβρίου 2012). The Mathematical Gardner. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4684-6686-7. 
• Datta, Biswa Nath (1 Ιανουαρίου 2010). Numerical Linear Algebra and Applications: Second Edition. SIAM. ISBN 978-0-89871-765-5. 
• Grünbaum, Branko· Shephard, G. C. Tilings and Patterns. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-46981-2. 
• Terras, Audrey (26 Απριλίου 2016). Harmonic Analysis on Symmetric Spaces—Higher Rank Spaces, Positive Definite Matrix Space and Generalizations. Springer. ISBN 978-1-4939-3408-9. 
• Durbin, John R. (31 Δεκεμβρίου 2008). Modern Algebra: An Introduction. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38443-5. 
• D'Agostino, Susan (26 Μαρτίου 2020). How to Free Your Inner Mathematician: Notes on Mathematics and Life. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-258174-7. 

• Shreeram Shankar Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.
  MR 1601178
• Edwards, Steve (2003), Heesch's Tiling, http://www.spsu.edu/math/tiling/17.html 
• Hales, Thomas C. (2005), «A proof of the Kepler conjecture», Annals of Mathematics 162 (3): 1065–1185, doi:10.4007/annals.2005.162.1065, http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf 
• Milnor, J. (1976), «Hilbert's problem 18», στο: Browder, Felix E., επιμ., Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proceedings of symposia in pure mathematics, 28, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1428-1 

• Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}. 
• «Hilbert's 23 problems | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024. 
• James, I. M. (24 Αυγούστου 1999). History of Topology. Elsevier. ISBN 978-0-08-053407-7. 
• Rowe, David E. (9 Ιανουαρίου 2021). Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire. Springer Nature. ISBN 978-3-030-63810-8. 
• Reid, Constance (5 Ιουνίου 2013). Courant. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21626-3. 
• Menzler-Trott, Eckart (7 Μαρτίου 2013). Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Springer-Verlag. ISBN 978-3-0348-8325-2.