Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 25/kontrolle

Wir verwenden im Beweis einige elementargeometrische Grundtatsachen. 

1. Wir zeichnen die beiden Kreise ${\displaystyle {}C_{1}}$ und ${\displaystyle {}C_{2}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle {}Q_{1}}$ durch ${\displaystyle {}Q_{2}}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von ${\displaystyle {}C_{1}}$ und ${\displaystyle {}C_{2}}$ seien ${\displaystyle {}S_{1}}$ und ${\displaystyle {}S_{2}}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf ${\displaystyle {}G}$ und halbiert die Strecke zwischen ${\displaystyle {}Q_{1}}$ und ${\displaystyle {}Q_{2}}$.
2. Man zeichnet einen Kreis ${\displaystyle {}C}$ mit ${\displaystyle {}P}$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben ${\displaystyle {}P}$ noch einen weiteren Punkt). Es seien ${\displaystyle {}Q_{1}}$ und ${\displaystyle {}Q_{2}}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade ${\displaystyle {}G}$ mit ${\displaystyle {}C}$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch ${\displaystyle {}P}$ und steht senkrecht auf ${\displaystyle {}G}$.
3. Wenn ${\displaystyle {}P}$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit ${\displaystyle {}P}$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte ${\displaystyle {}Q_{1}}$ und ${\displaystyle {}Q_{2}}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
4. Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten ${\displaystyle {}S}$ durch ${\displaystyle {}P}$ wie in (3) beschrieben durch. Mit ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}S}$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.

Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die ${\displaystyle {}x}$-Achse und dann wegen Lemma 25.6 die dazu senkrechte Achse durch ${\displaystyle {}0}$, also die ${\displaystyle {}y}$-Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun ${\displaystyle {}P}$ gegeben ist, so kann man aufgrund von Lemma 25.6  (4) die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den ${\displaystyle {}y}$-Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die ${\displaystyle {}x}$-Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.

  (1) Wir verwenden eine zu ${\displaystyle {}G}$ senkrechte Gerade ${\displaystyle {}H}$ durch ${\displaystyle {}0}$ und darauf einen Punkt ${\displaystyle {}x\neq 0}$. Dazu nehmen wir die zu ${\displaystyle {}H}$ senkrechte Gerade ${\displaystyle {}G'}$ durch ${\displaystyle {}x}$, die also parallel zu ${\displaystyle {}G}$ ist. Wir zeichnen die Gerade ${\displaystyle {}H'}$, die parallel zu ${\displaystyle {}H}$ ist und durch ${\displaystyle {}a\in G}$ verläuft. Der Schnittpunkt von ${\displaystyle {}H'}$ und ${\displaystyle {}G'}$ markieren wir als ${\displaystyle {}a'}$, sodass der Abstand von ${\displaystyle {}a'}$ zu ${\displaystyle {}x}$ gleich ${\displaystyle {}a}$ ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade ${\displaystyle {}L}$ durch ${\displaystyle {}b}$ und ${\displaystyle {}x}$ und dazu die parallele Gerade ${\displaystyle {}L'}$ durch ${\displaystyle {}a'}$. Der Schnittpunkt von ${\displaystyle {}L'}$ mit ${\displaystyle {}G}$ ist ${\displaystyle {}y=a+b}$, da ${\displaystyle {}x,b,a',y}$ ein Parallelogramm bilden.
  Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu ${\displaystyle {}G}$ senkrechte Gerade ${\displaystyle {}H}$. Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${\displaystyle {}1}$, ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ und markieren die entsprechenden Punkte auf ${\displaystyle {}H}$ als ${\displaystyle {}1'}$, ${\displaystyle {}a'}$ und ${\displaystyle {}b'}$. Dabei wählt man ${\displaystyle {}1'}$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${\displaystyle {}a'}$ und ${\displaystyle {}b'}$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${\displaystyle {}L}$ durch ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}1'}$ und dazu die parallele Gerade ${\displaystyle {}L'}$ durch ${\displaystyle {}b'}$. Diese Gerade schneidet ${\displaystyle {}G}$ in genau einem Punkt ${\displaystyle {}x}$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis

${\displaystyle {}{\frac {x}{a}}={\frac {b'}{1'}}={\frac {b}{1}}\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}x=ab}$.
Um den Quotienten ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ bei ${\displaystyle {}b\neq 0}$ zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${\displaystyle {}T}$ durch ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}b'}$ und dazu parallel die Gerade ${\displaystyle {}T'}$ durch ${\displaystyle {}a'}$. Der Schnittpunkt von ${\displaystyle {}T'}$ mit ${\displaystyle {}G}$ sei ${\displaystyle {}z}$. Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}=z\,.}$

Die ${\displaystyle {}0}$ und die ${\displaystyle {}1}$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt ${\displaystyle {}P}$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt ${\displaystyle {}-P}$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}0}$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}0}$ und Radius ${\displaystyle {}P}$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist ${\displaystyle {}-P}$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.

Aufgrund von Lemma 25.7 kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Lemma 25.8.