Derivada covariant exterior

En el camp matemàtic de la geometria diferencial, la derivada covariant exterior és una extensió de la noció de derivada exterior a la configuració d'un fibrat principal diferenciable o fibrat vectorial amb una connexió.^[1]

Sigui G un grup de Lie i P → M un grup G principal en una varietat llisa M. Suposem que hi ha una connexió a P ; això produeix una descomposició natural de suma directa ${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$ de cada espai tangent als subespais horitzontal i vertical. Sigui ${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$ la projecció al subespai horitzontal.^[2]

Si ϕ és una forma k a P amb valors en un espai vectorial V, aleshores la seva derivada covariant exterior Dϕ és una forma definida per

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})}$

on v _i són vectors tangents a P en u.

Suposem que ρ : G → GL(V) és una representació de G en un espai vectorial V. Si ϕ és equivariant en el sentit que

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

on ${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$, aleshores Dϕ és un tensorial (k + 1) (k + 1) -forma sobre P del tipus ρ : és equivariant i horitzontal (una forma ψ és horitzontal si ψ(v₀, ..., v_k) = ψ(hv₀, ..., hv_k).)

Per abús de notació, el diferencial de ρ a l'element d'identitat es pot denotar de nou per ρ :

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Sigui ${\displaystyle \omega }$ la connexió d'una forma i ${\displaystyle \rho (\omega )}$ la representació de la connexió en ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$ Això és, ${\displaystyle \rho (\omega )}$ és un ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ -forma valorada, desapareixent en el subespai horitzontal. Si ϕ és una k -forma tensorial de tipus ρ, aleshores

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$^[3]

on, seguint la notació en àlgebra de Lie, vam escriure

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

A diferència de la derivada exterior habitual, que quadra a 0, la derivada covariant exterior no ho fa. En general, es té, per a una forma tensorial zero ϕ ,

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$^[4]

on F = ρ(Ω) és la representació a ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ de la curvatura de dues formes Ω. La forma F de vegades es coneix com el tensor de la força de camp, en analogia amb el paper que juga en l'electromagnetisme. Tingueu en compte que D ² s'esvaeix per a una connexió plana (és a dir, quan Ω = 0 ).

Si ρ : G → GL(Rⁿ), llavors es pot escriure

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

on ${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$ és la matriu amb 1 a l'entrada (i, j) i zero a les altres entrades. La matriu ${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$ les entrades de les quals són 2-formes a P s'anomena matriu de curvatura.^[5]