Vés al contingut

Forma de curvatura

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En geometria diferencial, la forma de curvatura descriu la curvatura d'una connexió de Cartan en un fibrat principal.

Pot ser considerada com una alternativa o una generalització del tensor de curvatura en geometria riemanniana.

Definició

[modifica]

Sigui G un grup de Lie amb àlgebra de Lie , i P → B un G-fibrat principal. Sigui ω una connexió d'Ehresmann sobre P (la qual és una forma 1-diferencial en P avaluada a ).

Llavors la forma de curvatura és la forma 2-diferencial de valor- en P definida per

Aquí representa la derivada exterior, . és una forma diferencial avaluada a l'àlgebra de Lie, i D denota la derivada covariant exterior. És a dir, degut a que

on X, Y són vectors tangents a P, llavors utilitzant la fórmula anterior obtenim que

Existeix també una altra expressió per a Ω: Si X, Y són camps vectorials horitzontals a P, llavors

on hZ representa el component horitzontal de Z i a la dreta identifiquem un camp de vector vertical i un element d'àlgebra de Lie que el genera (camp vectorial fonamental), degut a que

Una connexió és anomenada plana si la seva curvatura val zero: Ω = 0. Equivalentment, una connexió és plana si el grup d'estructura pot ser reduït al mateix grup subjacent però amb la topologia discreta.

Forma de curvatura en un fibrat de vectors

[modifica]

Si EB és un fibrat de vectors, aleshores es pot considerar ω com una matriu d'1-formes i la fórmula superior esdevé l'equació d'estructura d'E. Cartan:

On és el producte "wedge". Més concretament, si i denoten components de ω i Ω respectivament, ( és una 1-forma i és un 2-forma) llavors

Per exemple, per al fibrat tangent d'una varietat riemanniana, el grup d'estructura és O(n) i Ω és un 2-forma amb valors en l'àlgebra de Lie de O(n), i.e. les matrius antisimètriques. En aquest cas la forma Ω és una descripció alternativa del tensor de curvatura, i.e.

Utilitzant la notació estàndard per al tensor de curvatura de Riemannian.

Identitats de Bianchi

[modifica]

Si és l'1-forma de valors vectorials canònica en el marc del fibrat, la torsió de la forma de connexió és la 2-forma de valors vectorials definida per l'equació d'estructura

on, com a dalt, D denota la derivava covariant exterior.

La primera identitat de Bianchi pren la forma

La segona identitat de Bianchi pren la forma

que és vàlida de manera general per a qualsevol connexió d'un fibrat principal.

Bibliografia

[modifica]
  • Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu (1963) Fundacions de Geometria Diferencial, Vol.I, Capítol 2.5 "Curvature form and structure equation", p 75, Wiley Interscience.

Vegeu també

[modifica]