مساحة الدائرة

جزء من سلسلة مقالات حول
الهندسة الرياضية
اللمحة العامة [الإنجليزية] التاريخ
الفروع إقليدية لاإقليدية إهليلجية كروية زائدية لاأرخميدية [الإنجليزية] إسقاطية نسبية تركيبية تحليلية جبرية حسابية ديوفانتية تفاضلية ريمانية هندسة تماسكية عقدية منتهية متقطعة رياضية رقمية محدبة رياضية حاسوبية وقعية [الإنجليزية]
المبادئ الخواص بعد الإنشاء بالمسطرة والفرجار زاوية منحنى ضلع قطري تعامد رياضي (تعامد هندسي) تواز رأس تطابق تشابه تناظر
صفري الأبعاد نقطة
وحيد البعد الطول مستقيم قطعة مستقيمة
المُسطَّحات مستو مساحة مضلع المثلثات مثلث الارتفاع الوتر مبرهنة فيثاغورس متوازيات الأضلاع متوازي أضلاع مربع مستطيل معين شبه معين رباعيات الأضلاع رباعي أضلاع شبه منحرف طائرة ورقية المنحنيات دائرة القطر المحيط المساحة قطع ناقص
المُجسَّمات حجم مكعب متوازي مستطيلات أسطوانة هرم كرة
ما فوق البعد الثالث مكعب رباعي الأبعاد كرة نونية الأبعاد
علماء الهندسة
وفق الاسم أيدا أريابهاتا أحمس ابن الهيثم أبلونيوس أرخميدس عطية بولياي براهماغوبتا كارتن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر غاوس غروموف هيلبرت جيهاديفا [الإنجليزية] كاتيايانا الخيَّام كلاين لوباتشيفسكي مانافا [الإنجليزية] مينكوفسكي مينغاتو [الإنجليزية] باسكال فيثاغورس باراميشفارا [الإنجليزية] بوانكاريه برنارد ريمان سكابي [الإنجليزية] السجزي الطوسي فيبلين [الإنجليزية] فيراسينا [الإنجليزية] يانغ هوي [الإنجليزية] ابن الياسمين زانج قائمة علماء الهندسة
وفق الحقبة قبل الميلاد أحمس مانافا [الإنجليزية] فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبلونيوس 1–1400م زانج كاتيايانا أريابهاتا براهماغوبتا فيراسينا [الإنجليزية] ابن الهيثم السجزي الخيَّام ابن الياسمين الطوسي يانغ هوي [الإنجليزية] باراميشفارا [الإنجليزية] 1400–1700م جيهاديفا [الإنجليزية] ديكارت باسكال مينغاتو [الإنجليزية] أويلر سكابي [الإنجليزية] أيدا 1700–1900م غاوس لوباتشيفسكي بولياي برنارد ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتن فيبلين [الإنجليزية] كوكستر معاصرون عطية غروموف
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
الاستعمالات مساحة القرص المحيط صيغ أخرى
الخواص لا نسبية عدد متسام
القيمة تقريبات تذكّر أقل من 22/7
أشخاص أرشميدس ليو هوي زو تشونغزي أريابهاتا مادهافا السنغماراي لودولف فان ساولن سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو ويليام جونز جون ماكن ويليام شانكس جون رنش الإخوان شودنوفسكي ياسوماسا كانادا
تاريخ تسلسل زمني كتاب
متعلقات متعلقات: تربيع الدائرة معضلة بازل نقطة فينمان أخرى
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

في الهندسة الرياضية، تعرف المساحة الموجودة داخل دائرة ما بمساحة الدائرة، ويمكن حسابها باستخدام المعادلة الرياضية: πr². حيث يمثل r نصف قطر الدائرة، أما الحرف اليوناني π فيمثل النسبة الثابتة لمحيط أي دائرة إلى قطرها، ويساوي تقريبًا 3,14159.

أحد الأساليب لاشتقاق هذه الصيغة والتي تصورها أرخميدس في الأصل، يستلزم النظر إلى الدائرة باعتبارها نهاية سلسلة من المضلعات المنتظمة مع عدد متزايد من الجوانب. يمكن حساب مساحة المضلع المنتظم بضرب نصف محيطه في المسافة من مركزه إلى أضلاعه. ولأن التسلسل يميل إلى أن يشكل دائرة، فإن الصيغة المقابلة – أن المساحة تساوي نصف المحيط في نصف القطر – هي: A = 1/2 × 2πr × r تمثل مساحة الدائرة.

على الرغم من أنه يشار إليها غالبًا باسم مساحة الدائرة في السياقات غير الرسمية، إلا أن مصطلح القرص يشير بدقة إلى المنطقة الداخلية للدائرة، في حين أن الدائرة مخصصة للحدود فقط، وهو منحنى ولا يغطي أي مساحة بحد ذاتها. ولذلك، فإن مساحة القرص هي العبارة الأكثر دقة للمنطقة المحاطة بدائرة.

تستخدم الرياضيات المعاصرة حساب التفاضل والتكامل ونظيره الأكثر تقدمًا، وهو التحليل الحقيقي، لتحديد مساحة القرص. ومع ذلك، تمت دراسة مساحة القرص من قبل اليونانيين القدماء. في القرن الخامس قبل الميلاد وجد إيودوكسوس من كنيدوس أن مساحة القرص تتناسب مع مربع نصف قطره.^[1] استخدم أرخميدس في عمله "قياس الدائرة" أدوات الهندسة الإقليدية ليثبت أن المساحة داخل الدائرة تساوي مساحة المثلث القائم الذي قاعدته طول محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطر الدائرة، ونظرًا لأن طول المحيط هو 2πr، ومساحة المثلث هي نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع، فإن هذا الحساب يعطي المعادلة الرياضية (π r²) والتي تمكن من حساب مساحة لقرص. قبل أرخميدس، كان أبقراط الخيوسي أول من أثبت أن مساحة القرص تتناسب مع مربع قطره، كجزء من عمله على تربيع هلال أبقراط،^[2] لكنه لم يحدد ثابت التناسب.

مساحة مضلع منتظم تساوي نصف محيطه مضروبا في المسافة الفاصلة بين مركز المضلع وأحدٍ من أضلاعه. كلما كبُر عدد أضلاع مضلع منتظم، كلما اقترب المضلع المنتظم من الدائرة التي تضمه، وكلما اقتربت هذه المسافة من شعاع الدائرة. هذا الأمر يؤكد أن مساحة القرص تساوي نصف محيط الدائرة مضروبا في شعاعها.

انظر إلى دائرة محيطة.

${\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}$

انظر بصل.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left[(2\pi ){\frac {t^{2}}{2}}\right]_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Area&{}={\frac {1}{2}}*base*height\\&{}={\frac {1}{2}}*2\pi r*r\\&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

باستعمال تعريف التكامل ذاته، يمكن أن يُستنتج أن مساحة نصف الدائرة تساوي

${\displaystyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$

باستعمال تعويض مثلثي يتمثل في وضع ${\displaystyle x=r\sin \theta }$، نجد أن ${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta .}$

${\displaystyle =\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\cdot r\cos \theta \,d\theta }$

${\displaystyle =2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta }$

${\displaystyle ={\frac {\pi r^{2}}{2}}.}$

انظر طريقة مونت كارلو.

• مساحة القرص مع رسوم متحركة