Logika

Pojam λογικός (loghikòs) je korišten u starogrčkoj filozofiji još od vremena Heraklita i Zenona, preko sofista do Platona, u generičkom smislu: ono što se odnosi na λόγος (logos), u značenju „razum“, „reč“, „zakon“ i sl. Čak ni sam osnivač logike, Aristotel, nije koristio naziv logika. Ovaj naziv u širu upotrebu uvode stoici u ranom III veku p. n. e. U stoičkoj školi pojmovi ἡ λογική τέχνη (e loghiké tékne), τὰ λογικά (tà loghikà) dobivaju tehničko značenje: „teorija prosuđivanja i znanja“ koje se odnosi ne samo na teoriju saznanja već i na formalnu strukturu mišljenja.^[6][7]

Logika se ne bavi posebnim područjima stvarnosti; ona istražuje proces(e) kojim se dolazi do saznanja o stvarnosti uopše i to je čini filozofskom naukom. Dakle, logika utvrđuje zakone kojima se dolazi do istine. U odnosu na shvatanje pojma istine izdvojile su se formalna logika i sadržinska (konkretna) logika - prva se bavi objektivnom istinom i tretira mišljenje na formalan način a druga se bavi formalnim pravilima i tretiranjem pravila mišljenja na konkretan (sadržinski način).

Logika nije normativna nauka, ali poznavanje formi mišljenja i logičkih zakona pomaže jasnijem i pravilnijem izražavanju kao i pronalaženju grešaka u vlastitom i tuđem mišljenju. Što se tiče odnosa psihologije i logike, uočava se razlika u opsegu proučavanja: psihologija se bavi svim psihičkim, intelektualnim, emotivnim procesima i procesima volje dok je logika usmerena samo na forme istinitog i pravilnog mišljenja.^[1]

Logika se u određenim krugovima posmatra kao deo filozofije, a u drugim kao posebna nauka. Predstavnici ontološke logike zastupaju stanovište prema kojem su svi filozofski problemi u osnovi ontološki tako da ni logika nije moguća kao odvojena nauka. Kod gnoseološke logike zastupa se mišljenje da je logika disciplina koja se bavi isključivo formalnim uslovima spoznaje i kao takva samo je deo teorije spoznaje koja tretira spoznaju u njenoj ukupnosti. Antropologizam u logici smatra da je mišljenje deo čovekovih aktivnosti pa je prema tome logika, koja se bavi čovekovim mišljenjem, deo antropologije. Lingvistički pravac u logici nalaže da nema misli bez jezika, pa je zato logika samo praktična primena lingvistike ili njen deo.^[2] Svim ovim mišljenjima suprotan položaj zauzima shvatanje pristalica čiste logike koji naglašavaju da logika ne proučava realna dešavanja (npr. psihičke procese), već idealne pojave - misli, a njima se ne bavi nijedna druga nauka.^[2]

Ne postoji opšta saglasnost o opsegu i predmetu istraživanja logike. Prema tradicionalnom učenju, logika se bavi klasifikacijom argumenata, sistematskog podvrgavanja logičkih formi svim validnim argumentima, te proučavanjem paradoksa i logičkih grešaka (zabluda, neistina). Tokom istorije logika se proučavala u okviru filozofije (od antičkog doba), matematike (od sredine XIX veka), a u XX i XXI veku, logika je važan deo lingvistike, psihologije, računarstva i drugih intelektualnih aktivnosti.

Razlikuju se:

• Bivalentna logika je logika koja sadrži samo dve istinosne vrednosti: istinito i lažno.
• Modalna logika za razliku od klasične prihvata modalne operatore. Modalni operator je propozicionalni operator koji nije funktor istine, nego pojmova kao što su mogućnost, kontingentnost, nemogućnost, nužnost.
• Moderna logika, za razliku od klasične, aristotelovske, uvodi nove tipove logičkih veza i stroge postupke aksiomatizacije, formalizacije i simbolizacije.
• Polivalentna logika za razliku od klasične, bivalentne, prihvata više od dve istinosne vrednosti.
• Formalna logika opisuje forme sistematskog ispravnog mišljenja: pojam, sud, zaključak (silogizam). Izraz se najčeš��e upotrebljava kao oznaka za tradicionalnu, aristotelovsku logiku.
• Hegelova logika, za razliku od aristotelovske, zasnovana je kao sinteza tradicionalne logike, gnoseologije i ontologije, pa su u njenim okvirima svi principi aristotelovske logike revidirani i prikazani samo kao prazne forme „razumskog mišljenja“. Ona se ponekad neadekvatno poistovećuje c dijalektikom.
• Logički principi, uobičajeni naziv za četiri osnovna principa ili „zakona“ korektnog mišljenja: princip identiteta (lat. principium identitis), princip protivrečnosti (lat. principium contradictionis), princip isključenja trećeg ili srednjeg (lat. principium exclusi tertii sine medii), princip dovoljnog razloga (lat. principium rationis sufficientis). Prva tri principa u osnovi je nagovestio Aristotel, a četvrti potiče od Lajbnica.
• Klasična logika je uobičajeni naziv za logiku konstituisanu na osnovu Aristotelovih logičkih spisa, bivalentna, podrazumeva tri temeljna principa: identiteta, neprotivrečnosti i isključenja trećeg.
• Neklasična logika je opšta oznaka za modalnu, polivalentnu i oslabljenu logiku.

Počeci logike vezuju se za stare civilizacije, od onih nastalih na tlu Indijskog potkontinenta, preko Kine do Grčke.

Grčki filozof Aristotel iz IV veka p. n. e. se smatra osnivačem evropske logike, on je postavio čvrst temelj ovoj nauci i prvi je koristio varijable za predstavljanje logičkih izraza. On je uspostavio logiku kao filozofsku disciplinu dodelivši joj fundamentalnu ulogu. Aristotel je u svom delu Organon (oruđe) detaljno i sistematično ispitao oblike mišljenja i odredio pravila s kojim mišljenje mora biti usaglašeno. Aristotel je logiku postavio na sistematičan način; za njega, ona se podudara sa metodom dedukcije, jedinim metodom, kako je smatrao, koji poseduje potrebnu i striktnu posledičnost koja je očigledna u silogizmu (deduktivni zaključak sa dve premise i zaključkom). Primer:

• Svi ljudi su smrtni.
• Sokrat je čovek.
• Dakle, Sokrat je smrtnik.

Ipak, Aristotelova logika ostaje samo oruđe koje samo po sebi ne može automatski otvoriti put ka istini. Istina zavisi od premisa koje formuliše intelekt, on intuicijom dolazi do spoznaje univerzalnih koncepata iz koji logika donosi samo formalno ispravne zaključke, od opštih ka posebnim.^[9][10][11]

U srednjem veku se Aristotelova deduktivna logika samo nadograđivala, sve do XVII veka, kada engleski filozof Fransis Bejkon uvodi novu, induktivnu logiku. U delu Novum Organum, Fransis Bejkon je pokušao da izgradi novu metodologiju temeljenu na indukciji, a da logiku predstavi kao instrument za naučno istraživanje.^[12]

Rad na ovim pitanjima nastavio je Rene Dekart, koji je pokušao da utvrdi da li rigorozni matematički diskurs može postati temelj svakog znanja, uključujući i ono filozofsko. Tomas Hobs, takođe na polju matematike, smatrao je da je logika kombinacija znakova i pravila. Gotfrid Lajbnic i njegovi sledbenici pokušali su da objedine kompleks logičko-lingvističkih struktura u jedan univerzalni naučni jezik, odnosno, „simboličku i kombinatoričnu logiku“, što je kasnije postalo osnova matematičke logike.

U 18. veku dati su značajni doprinosi razvoju savremene logike. Imanuel Kant, u Kritici čistog uma, definisao je transcendentalnu logiku kao deo logike koja se bavi načinom na koji se ljudsko znanje može primeniti na empirijske koncepte, odnosno, kako nauka može pomoći ljudskoj spoznaji. Kant je razlikovao dve vrste logičkih hipoteza: analitičke i empirijske. Prve ne mogu biti kontradiktorne, a druge su konstatacije. Ipak, ni jedna od njih nije bila u mogućnosti da poboljša ljudsku spoznaju o svetu, jer analitičke hipoteze nisu davale dodatnu spoznaju premisama, a empirijske nisu imale univerzalni karakter. Zato je Kant predložio treći tip hipoteza: (a priori) sintetičke u koje je svrstao matematičke hipoteze.^[13]

Gotlob Frege je pokazao da aritmetika vodi do sušte logike, jer je sačinjena od čisto analitičkih hipoteza. I drugi naučnici iz Bečkog kruga su kritikovali postojanje a priori sintetičkih sudova.

Hegel je odbacio one filozofije koje su u temelje logike postavljale intuiciju nadrazumske prirode i pretvorio je deduktivnu metodu u spiralni postupak koji na kraju sam sebe opravdava. Takav dijalektički sistem smatra se superiornijim od onog klasičnog.^[14][15]

Unutar logike se raspravlja suštinski o njenom predmetu, to jest o mišljenju, tačnije pojmovnom mišljenju; njegov pojam se stvara u njenom proticanju i prema tome ne može se postaviti unapred. Neumesno je reći da logika apstrahuje od svake sadržine, da ona izlaže samo pravila mišljenja, a da se ne upušta u ono o čemu se misli i da ne može uzeti u obzir njegova svojstva. Jer, pošto njen predmet treba da sačinjava mišljenje i pravila mišljenja, to ona upravo u njima neposredno ima svoju vlastitu sadržinu.^[16]

– Hegel

Od Hegela, koji je prvi dao formulaciju pravila dijalektičkog mišljenja, razvija se dijalektička metoda koja je značajno pogodnija za tretiranje složenih pojava izražene dinamike, zato što uvek razmatra i posebnosti datih situacija. Njegova logika je ostala u okviru idealizma a materijalističku interpretaciju dobija u radovima Marksa (Marksov Kapital sadrži izraženu primenu dijalektičke logike).^[1]

U drugoj polovini 19. veka logika se vraća proučavanju formalnih aspekata jezika, dakle, formalnoj logici, i naturalističkim metodama, što je doprinelo razvoju matematičke logike. U 19. i 20. veku razvija se simbolička logika, na početku samo razvijeniji oblik deduktivne logike, a kasnije je obuhvatila i induktivnu. Ova logika je šira i egzaktnija od tradicionalne.^[1] Istaknuti predstavnici su Rudolf Karnap, Bertrand Rasel, Alfred Tarski i dr. Ova logika koristi poseban sistem znakova (slično matematičkim) sa striktno određenim značenjima. Ipak, ovakav sistem je ograničen u primeni na složenim pojavama izražene dinamike, kao što su prirodne i društvene pojave.^[1]

U 20. veku, sa modernom fizikom i kvantnom mehanikom prelazi se iz logike Aristotela, tj. principa isključenja trećeg, u dijalektičku logiku Heraklita koja princip nekontradiktornosti menja za princip komplementarne kontradiktornosti: jedan kvant istovremeno i jeste i nije, čime se uvažava suprotstavljena dualnost realnosti (kod čestičnog i talasnog aspekta materije).^[18][19] Ovaj koncept, koji predstavlja pravi paradoks pojavnih oblika stvarnosti, najavio je Heraklit: „Ulazimo i ne ulazimo u istu reku, mi i jesmo i nismo“^[20][21]

Značajan doprinos na polju formalne matematičke logike dao je Kurt Gedel. On je svojim teoremama pokazao da ako je neki formalni sistem logički koherentan, njegova nekontradiktornost se ne može demonstrirati iz samog logičkog sistema. Smisao Gedelovog otkrića je ostao predmet rasprave: sa jedne strane smatra se da njegova teorema definitivno negira mogućnost dolaženja do matematičkih istina u koje se može imati apsolutno poverenje, a sa druge strane, da je paradoksalno pokazao da je potpunost jednog sistema upravo to, jer se ne može demonstrirati:^[22] U suprotnom slučaju, ako jedan sistem može demonstrirati sopstvenu koherentnost onda nije koherentan. Gedel je bio uveren da uopšte nije razložio konzistenciju logičkih sistema, koje je uvek smatrao za realne fukcije sa punom ontološkom vrednošću, i da se čak i njegova teorema nekompletnosti odlikuje objektivnošću i logičkom strogoćom. Objašnjavao je da formulacija kojom se tvrdi njena nedokazivost unutar jednog formalnog sistema, upravo kao takva istinita, zato što se ne može efektivno demonstrirati.^[23]

Gedel je interpretirao svoje teoreme kao potvrdu platonizma, filozofske struje koja tvrdi da postoje istinite formule koje se ne mogu demonstrirati, dakle, da se pojam istine ne može redukovati tako da se može demonstrirati. U skladu sa ovom filozofijom, bio je uveren da se istina, nešto što je objektivno (nezavisno od konstrukcija koje se grade demonstriranjem teorema), ne može dati kao zaključak na kraju bilo kojeg sleda demonstracija, već isključivo na početku. Slično Parmenidu, koncipirao je „formalnu“ logiku kao neodvojivu od „suštinskog“ sadržaja: „Ne vidim razlog zašto bi trebalo da imaju manje poverenja u ovaj tip percepcije, dakle, u matematičku intuiciju, u odnosu na čulnu percepciju, koja nas uvodi u kreiranje teorija u fizici i za očekivati je da će se budući čulni osećaji uskladiti sa njom...“ (Kurt Gödel)

Logika se smatra formalnom kada analizira i predstavlja formu bilo kojeg validnog argumenta (tvrdnje, suda). Forma argumenta se izražava formalnom gramatikom i simbolikom logičkog jezika kako bi se njegov sadržaj mogao upotrebiti u formalnom zaključivanju. Jednostavnije rečeno: rečenice iz običnog jezika se prevode u jezik logike. Na ovaj način se predstavlja logička forma argumenta. Ona je neophodna jer se rečenice u običnom jeziku javljaju u velikom broju različitih formi i stepena složenosti pa njihova upotreba u zaključivanju nije praktična. U prvom redu, potrebno je zanemariti gramatičke karakteristike koje nisu relevantne za logiku (npr. rod i deklinacija), zameniti veze koje nisu potrebne u logici (kao „ali“) sa logičkim vezama kao što je npr. „i“ i zameniti neodređene ili dvosmislene logičke izraze („bilo koji“, „neki“ itd.) sa standardnim izrazima (kao što je „svi“, ili univerzalnim kvantifikatorom „∀“). Dalje, određeni delovi rečenice se moraju zameniti šematskim znakovima (slovima). Tako se, na primer, izrazom „svako A je B“ iskazuje logička forma zajednička rečenicama „svi ljudi su smrtni“, „svi psi su mesojedi“, „svi Grci su filozofi“ i tako dalje. Fundamentalni značaj koncepta forme u logici je prepoznat od antičkog doba. Aristotel je prvi koristio varijable kako bi predstavio validne zaključke.^[24][25]

Fundamentalna razlika između moderne formalne logike i tradicionalne nalazi se u različitim analizama logičke forme rečenica. Moderni način je složeniji i sveobuhvatniji, jer aristotelovska logika nije mogla uspešno renderirati rečenice sa kombinacijom različitih kvantifikatora (npr. „svi“ + „neki“); Aristotel je dozvoljavao uticaj samo jednog kvantifikatora na zaključak. Međutim, kao što je i u običnom jeziku lingvistički neophodno prepoznavanje rekurzivnih rečeničnih struktura, tako je i logici potrebna rekurzivna struktura logičkih izraza.

Glavni članak: Semantika

Validnost logičkog argumenta (tvrdnje, suda) zavisna je od značenja ili semantike rečenica koje čine logički izraz, iz ovog razloga logika se mora baviti i semantikom, dakle, značenjem. Aristotel je u Organonu i naročito u spisu O tumačenju, dao semantički okvir koji je u XIII i XIV veku razvijen u složenu u sofistikovanu teoriju – teoriju supozicije. Vilijam Okamski je dao sveobuhvatan pregled uslova koji su potrebni i dovoljni da bi jednostavna rečenica bila istinita i kako bi pokazao koji argumenti su validni (valjani), a koji nisu. Međutim, u XV i XVI veku zanemaruje se i gubi pronicljivost semantičkog aspekta logike. Semantika se definisala samo kao relacija između ideja u ranom modernom dobu. Istina ili neistina nisu ništa više od slaganja ili neslaganja ideja, ali iz toga tako proizilaze očigledne teškoće. Džon Lok, uočivši ovaj problem, napravio je razliku između 'prave' istine, u kojoj naše ideje 'stvarno postoje', i 'imaginarne' ili 'verbalne' istine u kojoj su naše ideja, kao Harpije ili Kentauri koji postoje samo u našem umu.^[26]

Ovakvo razmišljanje je u XIX veku dovedeno do krajnosti, u psihologiji i sociologiji poznat kao psihologizam; smatra se da je to bila veoma niska tačka u razvoju logičke misli. Moderna semantika je u određenoj meri sličnija srednjovekovnom učenju, jer je odbacila psihološke uslove istinitosti. Ipak, uvođenje kvantifikatora je bilo potrebno da bi se rešio problem višestruke uopštenosti, a time se analiza 'subjekat-predikat' na kojoj se srednjovekovna semantika temeljila pokazala neprimenljivom. Glavni moderni pristup, koji se bavi značenjem različitih delova izraza, reprezentativan je u semantičkoj teoriji istine Alfreda Tarskog kod kojeg se, u krajnjoj analizi, dolazi do zaključka da je iskaz „sneg je beo“ istinit onda i samo onda ako je sneg beo.^[27]

Jedan od fundamentalinh koncepata teorije modela je model teoretske semantike. Interpretacija kod ovog modela sastoji se od dva dela. Jedan deo detaljno prikazuje karakteristične događaje, osobine i odnose za datu situaciju, prikazanu modelom. Činjenica je da ljudska bića nešto iskazuju kako bi dala informaciju o određenoj situaciji. Iako se značenje rečenice može odrediti i kada ne poznajemo konkretnu situaciju pod uslovom da poznajemo uslove njene istinitosti, informacija iz rečenice se ne može preneti, ako nije povezana sa ličnostima, predmetima i relacijama između njih.

Drugi deo teorije navodi pravila za interpretaciju izraza objektnoga jezika u odnosu na bilo koji arbitraran model. Teorijom modela specifikuju se istinosni uslovi rečenica objektnoga jezika. Istinosni uslovi specifikovani teorijom modela važe nezavisno od pojedinačnog modela, a pojedinačne rečenice se mogu interpretirati samo u odnosu na neki model.^[28]

Zaključivanje se ne treba mešati sa implikacijom. Implikacija se nalazi u rečenicama tipa 'ako je p onda je q', i one mogu biti istinite ili neistinite. Uslov istinitosti takvih implikacija: neistinite su ako je prethodnik p istinit, a sledbenik q neistinit, a u svakom drugom slučaju su istinite. Zaključak se sastoji od dvije odvojene tvrdnje izraza 'p, dakle q'. Zaključak nije istinit ili neistinit, već je validan ili nije. Ipak, postoji veza između implikacije i zaključka: ako je implikacija 'ako je p, onda je q' istinita, onda je zaključak 'p dakle q' validan. Filon Aleksandrijski je ovo prikazao u prividno paradoksalnoj formulaciji 'ako je dan, onda je noć' - ona je istinita samo dok traje noć, prema tome, zaključak 'dan je, dakle, noć je' je validna noću ali ne i danju.^[29] Teorija zaključivanja ili posledica je sistematično razvijana u Srednjem veku a naročito su zaslužni Vilijam Okamski i Volter Barli. Specifična je upravo za Srednji vek i zato je pretežno korištena terminologija zasnovana na latinskom jeziku.

Logika je nastala iz nastojanja da se argumentacija učini korektnom. Postoje tvrdnje u modernoj logici da se logičko proučavanje treba isključivo odnositi na argumente koji prozilaze iz odgovarajućih opštih oblika zaključivanja. Na primer, kaže se da logika ne obuhvata dobro rezonovanje u celini. Ona se više odnosi na zaključke čija validnost se može pratiti do formalnih obeležja predstava koje su deo tog zaključka, bilo da se radi o lingvističkim, mentalnim ili drugim predstavama. Nasuprot tome, Imanuel Kant je tvrdio da se logika treba posmatrati kao nauka o sudovima; ovu ideju je prigrlio Gotlob Frege, u svojim radovima iz filozofije i logike. Međutim, njegov rad nije jasno određen, jer se bavi i zakonima mišljenja i zakonima istine, dakle, tretira logiku u kontekstu teorije razuma i u okviru proučavanja apstraktnih formalnih struktura.

Glavni članak: Pojam

Pojam je u logici, misao o biti (suštini) onoga o čemu mislimo, odnosno, o bitnim karakteristikama onoga o čemu mislimo. Kod pojma razlikujemo: sadržaj, obim i doseg. Sadržaj čine bitne karakteristike nekog pojma, odnosno, ono što nešto čini onim što jeste. Npr. sadržaj pojma „čovek“ je taj da je čovek svesno biće, i ta činjenica da je čovek svesno biće čini čoveka onim što jeste. Obim nekog pojma čini skup nižih pojmova na koje se taj jedan pojam odnosi. Npr. obim pojma „čovek“ je taj da se ljudi mogu razvrstati u kategorije po rasama, državama i drugo. Doseg je broj pojedinačnih predmeta na koje se jedan pojam odnosi. Npr. pojam „čovek“ obuhvata sedam milijardi ljudi.^[30] Obim i sadržaj pojma su obrnuto proporcionalni kada se radi o pojmovima iste vrste ili roda. Ako je širok obim uzak je sadržaj i obrnuto.

Glavni članak: Sud (logika)

Sud (suđenje, tvrdnja, tvrđenje, argument) je veza između dva pojma kojim se po osnovu međusobnog odnosa ta dva pojma nešto tvrdi. Sud može imati samo dve istinosne vrednosti koje su moguće, može biti istinit ili neistinit. Sudovi se mogu razvrstati prema kvantitetu, kvalitetu, relaciji (odnosu, vezi) i modalitetu. Kvantitativni sudovi mogu biti opšti i posebni, kvalitativni mogu biti afirmativni (potvrdni) i odrečni dok se sudovi prema relaciji dele na kategoričke, hipotetičke i disjunktivne (razdvajajuće).^[3]

Glavni članak: Zaključak

Zaključak je složena strukturisana misao koja se sastoji od najmanje dva ili više sudova od kojih jedan sledi iz jednog ili više drugih sudova. U zaključku razlikujemo sudove od kojih polazi postupak zaključivanja i sud do kojeg se dođe postupkom zaključivanja. Sudovi od kojih polazi postupak zaključivanja nazivaju se premise. Sud do kojeg se dođe postupkom zaključivanja naziva se konkluzija. Zaključak ili konkluzija nekog argumenta poseduje karakteristiku valjanosti (validnosti). Ako je zaključak valjan, tada nužno sledi iz prethodno navedenih premisa. Ako zaključak nije valjan, tada on nije nužna posledica premisa, odnosno, ne sledi nužno iz istih. Od njegove valjanosti zavisi valjanost celog argumenta.^[31] Zaključci koji se temelje na samo jednoj premisi ili kada slede direktno iz dve premise zovu se neposredni zaključci. Zaključci koji su posredni dele se na deduktivne, induktivne i analogijske.

• Dedukcija je metoda kojom se zaključci izvode iz opštih značenja premisa prema posebnom značenju zaključka.
• Indukcija je logička metoda kojom se zaključci donose idući od posebnih značenja premisa prema opštem značenju zaključka.
• Analogijski zaključci mogu se izvoditi od posebnih značenja premisa prema posebnom značenju zaključka i od opštih značenja premisa do opštih značenja zaključka.^[3]

Glavni članak: Definicija

Definicija je jedna od osnovnih metoda saznanja. To je sud kojim se nedvosmisleno određuje sadržaj nekog pojma.

• Pojam koji definišemo se naziva definiendum.
• Pojam kojim se definiše se naziva definiens.

Istinitost neke tvrdnje se utvrđuje postupkom koji se zove dokazivanje a logička forma (oblik) koja proizilazi iz tog postupka zove se dokaz. Dokaz mora sadržavati barem dva elementa: tezu, čija se istinitost dokazuje i argument (razlog) na temelju kojeg se definira istinitost teze.

Glavni članak: Aksiom

Aksiom ili postulat, prema definiciji u klasičnoj filozofiji, je tvrdnja (u matematici se često prikazuje u simboličkom obliku) koja je evidentna ili dobro uspostavljena, te koja je prihvaćena bez kontroverzi ili pitanja. U logici ili u matematici aksiom može biti korišten kao premisa ili početna tačka za dalje rezonovanje ili argumente.^[32] Reč dolazi iz grčkog jezika, od axíōma - ono što se smatra dostojnim ili sposobnim' ili 'ono što je samo po sebi istinito.^[32] Prema upotrebi u modernoj logici, aksiom je jednostavno premisa ili početna tačka rasuđivanja.^[32] Bez obzira da li je smisleno (i, ako je tako, šta to znači) za aksiom, ili bilo koju matematičku tvrdnju, da bude „tačna“ je centralno pitanje u filozofiji matematike, o čemu savremeni matematičari imaju različita mišljenja.^[33]

• I (konjunkcija): označava se kao x∧y ili kao x*y ili kao x I y.
• ILI (disjunkcija): označava se kao x∨y ili kao x+y ili kao x ILI y.
• NE (negacija): označava se kao ¬x ili kao `x ili kao NE x.

Glavni članak: Bulova algebra

Bulova algebra je deo matematičke logike - algebarska struktura koja sažima osnovu logičkih operacija I, ILI i NE kao i skup teorijskih operacija kao što su unija, presek i komplement. Bulova algebra je dobila naziv po autoru, britanskom matematičaru Džordžu Bulu iz XIX veka. Buleova algebra je, osim kao deo apstraktne algebre, izuzetno uticajna kao matematički temelj računarskih nauka.

Za razliku od elementarne algebre, u kojoj se koriste brojevi od 0 do 9, u Bulovoj algebri koriste se samo istinite vrednosti, odnosno, tačno i netačno. Ove vrednosti predstavljaju se preko bitova, tj. preko brojeva 1 i 0. U Bulovoj algebri ovi bitovi se ne ponašaju na uobičajen način, odnosno, ${\displaystyle 1+1}$  nikada ne može biti ${\displaystyle 2}$ . Bulova algebra takođe može da barata i funkcijama. Vrednosti koje se koriste u ovim funkcijama moraju biti iz skupa {0, 1}. Neprazan skup B na kojem su definirane dve binarne operacije „V“ (zbir, disjunkcija, ILI), "Λ" (proizvod, konjunkcija, I) i jedna unarna operacija "⌐" (negacija, komplement, NE) je Bulova algebra ako važe aksiomi:

J. K. Danhauer je u XVII veku upotrebio hermeneutiku kao pravilo i metode potrebne za tumačenje Svete Knjige u svom delu Sveta hermeneutika ili Metoda tumačenja svetih tekstova.^[42] Zakoni koje je predstavio su bili potencijalno korisni svim naukama i znanjima koji se temelje na tumačenju pisane reči.^[43]

Sloboda i širina kojom se hermeneutika odlikovala dali su joj položaj temeljne nauke i status koji je imala i logika. Ipak, logika se bavi proučavanjem ispravnosti sudova (argumenata, tvrdnji) i logika je alat kojim se sprečavaju greške a hermeneutika je fundamentalna nauka i alat kojim se dolazi do značenja teksta, onoga što je napisano, i razumevanje značenja koje je autor želio preneti, dakle, hermenutiku nužno ne interesuju logička istinitost i tačnost.^[43] Istina koju hermeneutika primarno nastoji utvrditi je ono značenje kojeg je autor želio prenijeti svojim tekstom. Stvarna i logička istinitost značenja teksta i sudovi sadržani u njemu su sekundarni za hermeneutiku. Dakle, u prvoj fazi proučavanja teksta treba otkriti njegovo značenje (uz pomoć hermeneutike) a u drugoj fazi može se razmatrati njegova istinitost ili neistinitost (oslanjajući se na logiku).^[43]

Jasno je da logička analiza zahteva blisku vezu sa hermeneutikom. Hermeneutika je XVII i XVIII veku sa logikom zaista i bila saživela; hermeneutika je za interpretaciju bila njena logika i metoda. Smatralo se da se uz ispravne metode i logiku razmišljanja može razumom spoznati sva istina i stvarnost sveta, budući da razum može (ima tu sposobnost, potencijal) shvatiti filozofsku istinu a da ljudsko znanje može otkriti misterije Nature. Pronalaženjem ispravnih metoda interpretacije i pripadajuće logike uklanjaju se sve prepreke koje stoje na putu tumačenja i razumevanja pisane reči.^[43]

Johan Martin Hladenius (1710—1759) je u svome radu postavio određena pitanja koja su bila tema rasprava u hermeneutici i tokom naredna dva veka. Uveo je pitanje interferencija koje se javljaju u interpretaciji zbog mogućnosti mešanja perspektive interpretatora u proces tumačenja. Hladenius je odvojio teoriju interpretacije od logike, odnosno, opštu hermeneutiku je utemeljio kao pomoćnu nauku za ljudsko znanje, što je logika već bila.^[43] Georg Fridrih Majer (1718—1777) bio je uveren da nijedan tumač ne može bolje proceniti nameru autora od samog autora, prema njemu, najbolji tumač teksta, i značenja koje je bilo cilj pisanja, je sam autor. Ipak, dalje tvrdi: „Čovek je ograničeno biće, njega mogu varati i on može biti prevaren, pa se iz hermeneutičke istinitosti značenja ne može izvesti njegova logička, metafizička ili moralna istinitost“.^[43][44]

Glavni članak: Logička kola

Logika ima fundamentalnu ulogu u računarstvu a posebno su važne rekurzivna teorija, modalna logika i teorija kategorija. Računarska teorija se temelji na konceptima koje su postavili, između ostalih, Alonzo Čerč i Alan Tjuring.^[45][46] Čerč je ukazao na postojanje nerešivih algoritamskih problema, a Tjuring je prvi temeljno analizirao ono što se može nazvati matematičkom procedurom, a Gedel je ustvrdio da je Tjuringova analiza „savršena“.^[47] Logika i računarstvo se preklapaju u nekoliko teoretskih područja:

• Gedelova teorema o nepotpunosti dokazuje da bilo koji logički sistem koji je dovoljno moćan da karakterizuje aritmetiku sadrži izraze koji se ne mogu dokazati kao istiniti ili neistiniti u tom istom sistemu. Ovo se direktno odnosi na mogućnost dokazivanja potpunosti i ispravnosti softvera^[48]
• Problem okvira (Frame problem) je temeljni logički problem koji se mora prevazići prilikom kreiranja veštačke inteligencije.^[49]
• Teorija kategorija predstavlja matematičko stajalište koje naglašava odnose između struktura. U bliskoj je vezi sa mnogim aspektima računarstva, naročito u programskim jezicima.^[50] Teorija kategorija se takođe odnosi i na formalnu analizu i transformaciju usmerenih grafikona a primenjuje se u programskim jezicima i kompajlerima^[51]

• Kant, Immanuel. Introduction to logic. 
• Devey, Joseph (1902). Lord Francis Bacon: Novum Organum. New York: P.F. Collier. Pristupljeno 30. 4. 2016. 
• The philosopher, Aristoteles (1973). Opere. Bari: Laterza. str. 372-373. 

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Logical calculus”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• An Outline for Verbal Logic
• Uvod i priručnici
  • An Introduction to Philosophical Logic Arhivirano 2008-04-03 na Wayback Machine-u, by Paul Newall, aimed at beginners.
  • forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers sentential and quantified logic.
  • Logic Self-Taught: A Workbook (originally prepared for on-line logic instruction).
• Eseji
  • "Symbolic Logic" and "The Game of Logic", Lewis Carroll, 1896.
  • Math & Logic: The history of formal mathematical, logical, linguistic and methodological ideas. In The Dictionary of the History of Ideas.
• Onlajn oruđa
  • Interactive Syllogistic Machine A web based syllogistic machine for exploring fallacies, figures, terms, and modes of syllogisms.
• Reading lists
  • The London Philosophy Study Guide Arhivirano 2009-09-23 na Wayback Machine-u offers many suggestions on what to read, depending on the student's familiarity with the subject:
    • Logic & Metaphysics Arhivirano 2018-07-12 na Wayback Machine-u
    • Set Theory and Further Logic Arhivirano 2009-02-27 na Wayback Machine-u
    • Mathematical Logic Arhivirano 2009-01-25 na Wayback Machine-u