Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.}$ Пусть также ${\displaystyle f(a)\neq f(b),}$ и без ограничения общности предположим, что ${\displaystyle f(a)=A<B=f(b).}$ Тогда для любого ${\displaystyle C\in [A,B]}$ существует ${\displaystyle c\in [a,b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=C}$.

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть ${\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},}$ и ${\displaystyle \operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).}$ Тогда ${\displaystyle \exists c\in [a,b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=0.}$
• В частности, любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называют первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой^[1]. На самом деле они эквивалентны.^[2]

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),}$ и функция ${\displaystyle f\in C(X).}$ Пусть ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},}$ и ${\displaystyle y_{1}<y_{2}.}$ Тогда

${\displaystyle \forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.}$

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу

• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.