ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

เราจะพิสูจน์ในกรณีที่ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ สำหรับกรณีอื่น ๆ ทำได้เช่นกัน

ให้ ${\displaystyle S}$ เป็นเซตของจำนวน ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ทั้งหมดที่ซึ่ง ${\displaystyle f(x)\leq u}$ แล้ว ${\displaystyle S}$ จะไม่เป็นเซตว่างเพราะมี ${\displaystyle a}$ เป็นสมาชิก นอกจากนี้ ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบนคือ ${\displaystyle b}$

จากสมบัติความบริบูรณ์ของจำนวนจริง จะได้ว่า ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบนน้อยสุด จึงให้แทนด้วย ${\displaystyle \sup S=c}$

จะพิสูจน์ว่า ${\displaystyle f(c)=u}$ แล้วจะได้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ให้ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ เนื่องจาก ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่อง ดังนั้นจะมี ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$ ทุกค่า ${\displaystyle |x-c|<\delta }$ ดังนั้นจะได้ว่า

${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$ สำหรับทุก ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$

โดยอาศัยสมบัติของขอบเขตบนน้อยสุด จะมี ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ ที่อยู่ใน ${\displaystyle S}$ และทำให้

${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }$.

เช่นกัน จะมี ${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$ ที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$ เพราะ ${\displaystyle c}$ เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ ${\displaystyle S}$

จึงได้

${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }$.

จากทั้งสองอสมการเราพบว่า

${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$

เป็นจริงสำหรับทุก ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ซึ่งทำให้ได้ว่า ${\displaystyle f(c)=u}$ ตามต้องการ