Теорема Титце о продолжении

Пусть ${\displaystyle X}$  — нормальное пространство и

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ 

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве ${\displaystyle A\subset X}$ . Тогда существует непрерывная функция

${\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} }$ ,

такая, что ${\displaystyle F(a)=f(a)}$  для всех ${\displaystyle a\in A}$ .

Более того, если ${\displaystyle f}$  ограничена, то функция ${\displaystyle F}$  может быть выбрана также ограниченной той же константой.

• Лёйтзен Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, для конечномерных вещественных векторных пространств.
• Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств.
• Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств.^[1][2]

• Эта теорема эквивалентна лемме Урысона.
• Если ${\displaystyle X}$  — метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве ${\displaystyle X}$ , продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

• Теорема Киршбрауна о продолжении