Нормальное пространство

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Свойства

Нормальные пространства образуют частный случай вполне регулярных или тихоновских пространств. Это следует из леммы Урысона: в нормальном пространстве любые два непересекающиеся замкнутые множества функционально отделимы.
Теорема Титце о продолжении. Каждая непрерывная вещественная функция, заданная на замкнутом подмножестве нормального пространства, непрерывно продолжается на всё пространство.
Всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
Пространства, все подпространства которых нормальны, называются наследственно нормальными или вполне нормальными.
- Для наследственной нормальности достаточно, чтобы все его открытые подпространства были нормальны.
- Для наследственной нормальности пространства необходимо и достаточно, чтобы были отделимы окрестностями всякие два множества, из которых ни одно не содержит точек соприкосновения другого.
Нормальное пространство называется совершенно нормальным, если в нём каждое замкнутое множество является пересечением счётного числа открытых множеств.
- Всякое совершенно нормальное пространство есть наследственно нормальное пространство.
- Всякое метрическое пространство совершенно нормально.
Нормальное пространство, в котором для любого дискретного семейства замкнутых множеств ${\{F_{s}\}}_{s\in S}$ существует дискретное семейство открытых множеств ${\{U_{s}\}}_{s\in S}$ , такое, что $F_{s}\subset U_{s}$ для каждого $s\in S$ , называется коллективно нормальным.
- Все паракомпактные хаусдорфовы пространства (в частности, метрические пространства) коллективно нормальны.
Произведение двух нормальных пространств не обязано быть нормальным, и даже произведение нормального пространства на отрезок может не быть нормальным.

Литература

Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.