Система компьютерной алгебры

Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:

• упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду, включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений
• подстановка символьных и численных значений в выражения
• изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)
• разложение на простые дроби, удовлетворение ограничений, запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений
• дифференцирование в частных и полных производных
• нахождение неопределённых и определённых интегралов (символьное интегрирование)
• символьное решение задач оптимизации: нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т. д.
• решение линейных и нелинейных уравнений
• алгебраическое (нечисленное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений
• нахождение пределов функций и последовательностей
• интегральные преобразования
• оперирование с рядами: суммирование, умножение, суперпозиция
• матричные операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач
• статистические вычисления
• автоматическое доказательство теорем, формальная верификация
• синтез программ

Многие из СКА также включают:

• язык программирования, позволяющий пользователям составлять собственные алгоритмы
• числовые операции произвольной точности
• целочисленную арифметику для больших чисел и поддержку функции теории чисел
• редактирование математических выражений в двумерной форме (с индексами, обычными дробями и т. д.)
• построение графиков функций в двух или трёх измерениях и их анимаций
• рисование графиков и диаграмм
• API для использования внешними программами (базы данных) или в языках программирования для использования системы компьютерной алгебры
• операции со строками (поиск подстроки)
• дополнительные модули прикладной математики для таких областей, как физика, биоинформатика, вычислительная химия и пакеты для инженерно-физических вычислений

Некоторые также включают:

• создание и редактирование графики (создание компьютерных изображений, а также обработку сигналов и анализ изображений)
• синтез звука

Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов.

СКА появились в начале 1960-х и поэтапно развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта. Одной из ранних программ является, используемая и поныне FORM^[1][2], из голландского института субатомной физики.

Первым успешным примером была новаторская работа Мартинуса Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.

Используя LISP, Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта MITRE (по исследованию искусственного интеллекта). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX. Сейчас он может быть всё ещё запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB («mathematical laboratory») не стоит путать с MATLAB («matrix laboratory»), системой для численных расчётов, созданной 15 лет спустя в Университете Нью-Мексико.

Начиная с конца 1960-х первое поколение СКА включало в себя системы^[3]:

• MACSYMA (Джоэл Мозес),
• MATHLAB (Массачусетский технологический институт),
• SCRATCHPAD (Ричард Дженкс, IBM),
• REDUCE (Тони Хирн),
• SAC-I, позже SACLIB (Джорж Коллинз),
• MUMATH для микропроцессоров (Дэвид Стоутмайер) и его продолжатель
• DERIVE.

Эти системы были способны выполнять символьные вычисления: интегрирование, дифференцирование, факторизация.

Ко второму поколению, в котором стал применяться более современный графический интерфейс пользователя, относятся Maple (Кейт Геддес и Гастон Гоннет, университет Уотерлу, 1985 год) и Mathematica (Стивен Вольфрам), которые широко используются математиками, учёными и инженерами^[3]. Бесплатные альтернативы — Sage, Maxima, Reduce.

В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор (HP-28), и в нём впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.

Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с революционными на тот момент расширениями CAS на основе программного обеспечения Derive. Этот калькулятор и последовавшие за ним, в том числе TI-89 и серии TI-Nspire CAS, выпущенный в 2007 году, продемонстрировали возможность создания сравнительно компактных и недорогих систем компьютерной алгебры.

В третьем поколении стал применяться категориальный подход и операторные вычисления^[3]:

• AXIOM, последователь SCRATCHPAD (NAG),
• MAGMA (Джон Кэннон, Сиднейский университет),
• MUPAD (Бенно Фуксштейнер, университет города Падерборн).

На 2012 год исследования в области систем компьютерной алгебры продолжаются в трёх направлениях: возможности по решению всё более широких задач, простота использования и скорость работы^[3].

• Символьное интегрирование — алгоритм Риша
• Гипергеометрическое суммирование — алгоритм Госпера
• Предел (математика) — алгоритм Грюнтза (Gruntz)
• Факторизация полиномов. Для ограниченных областей используются алгоритм Берлекампа или алгоритм Кантора—Цассенхауза.
• Наибольший общий делитель — алгоритм Евклида
• Метод Гаусса
• Базис Грёбнера — алгоритм Бухбергера
• Аппроксимация Паде
• Лемма Шварца-Зиппела и проверка равенства полиномов
• Китайская теорема об остатках
• Диофантово уравнение
• Элиминация кванторов над действительными числами — метод Тарского
• Алгоритм Ландау
• Производные от элементарных и специальных функций (например, смотри неполная гамма-функция)

• АНАЛИТИК

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification (англ.). — 1972. — 191 p. — (Technical report MIT-LCS-TR-095). Архивная копия от 17 сентября 2006 на Wayback Machine
• Таранчук В. Б. Основные функции систем компьютерной алгебры (рус.). — Минск: БГУ, 2013. — 59 p.
• Бухбергер Б. и другие. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986. — 392 с.
• Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard. Modern Computer Algebra, Third Edition. — Cambridge University Press, 2013. — 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2.

• Definition and workings of a computer algebra system
• Curriculum and Assessment in an Age of Computer Algebra Systems — From the Education Resources Information Center Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education, Columbus, Ohio.
• STACK — система обучения и тестирования на основе компьютерной алгебры
• A collection of computer algebra systems