Аппроксимация Паде

Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты $a_{i}$ и $b_{i}$ и получить аппроксимант

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{1+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года^[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение

Пусть имеется разложение функции $f(z)$ в степенной ряд Тейлора:

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

где $c_{i}$ — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции $f(z)$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет $L+1$ коэффициентов в числителе и $M+1$ — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя^{[источник не указан 980 дней]}.

Таблица Паде

Обобщения

Многоточечные аппроксимации Паде
Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
Аппроксимация функции нескольких переменных
Матричные аппроксимации Паде
Аппроксимация Паде — Чебышёва
Аппроксимация Паде — Фурье

Примечания

↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892.

Библиография

Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

Ссылки

Eric W. Weisstein. Padé Approximant (англ.). MathWorld. Дата обращения: 1 августа 2009.
Бочканов С., Быстрицкий В. Паде-аппроксимация (неопр.). Библиотека алгоритмов. Дата обращения: 1 августа 2009. Архивировано из оригинала 15 декабря 2005 года.
Буслаев В. И. Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации (неопр.). Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Дата обращения: 1 августа 2009.
Калюжный О., Коковин В. Применение аппроксимаций Паде к вибрации турбореактивного двигателя (рус.). Дата обращения: 2012-17-12.

[1] H. Padé. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892.

[1]