Делимость

Если для некоторого целого числа ${\displaystyle a}$  и целого числа ${\displaystyle b}$  существует такое целое число ${\displaystyle q}$ , что ${\displaystyle bq=a,}$  то говорят, что число ${\displaystyle a}$  делится нацело на ${\displaystyle b}$  или что ${\displaystyle b}$  делит ${\displaystyle a.}$ 

При этом число ${\displaystyle b}$  называется делителем числа ${\displaystyle a}$ , делимое ${\displaystyle a}$  будет кратным числа ${\displaystyle b}$ , а число ${\displaystyle q}$  называется частным от деления ${\displaystyle a}$  на ${\displaystyle b}$ .

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

• ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  означает^[1], что ${\displaystyle a}$  делится на ${\displaystyle b}$ , или что число ${\displaystyle a}$  кратно числу ${\displaystyle b}$ .

• ${\displaystyle b\mid a}$  означает, что ${\displaystyle b}$  делит ${\displaystyle a}$ , или, что то же самое: ${\displaystyle b}$  — делитель ${\displaystyle a}$ .

• У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
• У каждого натурального числа, большего ${\displaystyle 1}$ , есть хотя бы один простой делитель.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Используется также понятие тривиальных делителей: это само число и единица. Таким образом, простое число может быть определено как число, не имеющее никаких делителей, помимо тривиальных.
• Вне зависимости от делимости целого числа ${\displaystyle a}$  на целое число ${\displaystyle b\neq 0}$ , число ${\displaystyle a}$  всегда можно разделить на ${\displaystyle b}$  с остатком, то есть представить в виде:

  ${\displaystyle a=b\,q+r,}$  где ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$ .

В этом соотношении число ${\displaystyle q}$  называется неполным частным, а число ${\displaystyle r}$  — остатком от деления ${\displaystyle a}$  на ${\displaystyle b}$ . Как частное, так и остаток определяются однозначно.

Число ${\displaystyle a}$  делится нацело на ${\displaystyle b}$  тогда и только тогда, когда остаток от деления ${\displaystyle a}$  на ${\displaystyle b}$  равен нулю.

• Всякое число, делящее как ${\displaystyle a}$ , так и ${\displaystyle b}$ , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: ${\displaystyle +1}$  и ${\displaystyle -1}$ . Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
• Два целых числа ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  называются равноделимыми на целое число ${\displaystyle m}$ , если либо и ${\displaystyle a}$ , и ${\displaystyle b}$  делится на ${\displaystyle m}$ , либо ни ${\displaystyle a}$ , ни ${\displaystyle b}$  не делится на него.
• Говорят, что число ${\displaystyle a}$  кратно числу ${\displaystyle b}$ , если ${\displaystyle a}$  делится на ${\displaystyle b}$  без остатка. Если число ${\displaystyle c}$  делится без остатка на числа ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ , то оно называется их общим кратным. Наименьшее такое натуральное ${\displaystyle c}$  называется наименьшим общим кратным чисел ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ .

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что ${\displaystyle a,\,b,\,c}$  — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля:

${\displaystyle 0\,\vdots \,a,}$ 

и частное (при ${\displaystyle a\neq 0}$ ) равно нулю.

• Любое целое число делится на единицу:

${\displaystyle a\,\vdots \,1.}$ 

• На ноль делится только ноль:

${\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0}$ ,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

${\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.}$ 

• Для любого целого числа ${\displaystyle a\neq 0}$  найдётся такое целое число ${\displaystyle b\neq a,}$  для которого ${\displaystyle b\,\vdots \,a.}$ 

• Если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  и ${\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}$  то ${\displaystyle a\,=\,0.}$  Отсюда же следует, что если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  и ${\displaystyle a\neq 0}$  то ${\displaystyle \left|a\right|\geqslant \left|b\right|.}$ 

• Для того чтобы ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.}$ 

• Если ${\displaystyle a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,}$  то ${\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.}$ 

• Отношение делимости натуральных чисел является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
  • рефлексивно, то есть любое целое число делится на себя же: ${\displaystyle \quad a\,\vdots \,a.}$ 
  • транзитивно, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  и ${\displaystyle b\,\vdots \,c,}$  то ${\displaystyle a\,\vdots \,c.}$ 
  • антисимметрично, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$  и ${\displaystyle b\,\vdots \,a,}$  то ${\displaystyle a\,=\,b.}$ 

В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, ${\displaystyle 2\,\vdots -2}$  и ${\displaystyle -2\,\vdots \,2,}$  но ${\displaystyle 2\neq -2}$ . То есть отношение делимости целых чисел является только лишь предпорядком.

Число положительных делителей натурального числа ${\displaystyle n,}$  обычно обозначаемое ${\displaystyle \tau (n),}$  является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right).}$ 

Здесь ${\displaystyle \gamma }$  — постоянная Эйлера — Маскерони, а для ${\displaystyle \theta }$  Дирихле получил значение ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$  Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат ${\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}$  (получен в 2003 году Хаксли). Однако наименьшее значение ${\displaystyle \theta }$ , при котором эта формула останется верной, неизвестно (доказано, что оно не меньше, чем ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ).^[2][3][4]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как ${\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}$ , что было обнаружено А. Карацубой^[5]. По компьютерным оценкам М. Королёва ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067}$ .

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например, целые гауссовы числа или кольцо многочленов.

• Кратность
• Деление (математика)
• Деление с остатком
• Признаки делимости
• Модульная арифметика
• Конгруэнтность (алгебра)
• Сравнение по модулю
• Кольцо (математика)
• Факторизация

• Видео о делимости

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 96 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
• Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.