Га́уссовы це́лые чи́сла (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа[1].
Примеры: .
Впервые введены Гауссом в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832)[2] [3]. Множество гауссовых целых чисел принято обозначать отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел добавлением в него мнимой единицы и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия.
Общие свойства
правитьОпределение и классификация
правитьФормальное определение:
- .
Множество содержит множество обычных целых чисел и представляет собой его расширение[4]. Сумма, разность и произведение гауссовых чисел являются гауссовыми числами; для них, как и для целых чисел, сохраняются свойства ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности — такая алгебраическая структура называется в общей алгебре коммутативным кольцом[5]. Ввести в этом комплексном кольце упорядоченность, согласованную с порядком вещественных чисел, невозможно.
Сопряжённое к гауссовому числу есть также гауссово число .
Каждое гауссово число удовлетворяет квадратному уравнению:
Поэтому гауссово число есть целое алгебраическое число.
Норма
правитьНорма для гауссова числа определяется как квадрат его модуля[6]:
- .
Свойства нормы[7]:
- Норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное целое число.
- Нормы сопряжённых чисел совпадают.
- Норма обычного целого числа равна его квадрату.
- Если норма нечётна, то она имеет вид , то есть при делении её на 4 получается остаток 1. Никакое гауссово число не может иметь норму вида .
Норма, как и модуль, обладает важным свойством мультипликативности[7]:
Отсюда следует[8], что обратимыми элементами кольца (делителями единицы) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть .
Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности[8]. Пример: гауссовы числа и ассоциированы, поскольку:
- .
У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним. Нормы всех четырёх ассоциированных между собой чисел совпадают.
Теория делимости
правитьДеление нацело
правитьДеление нацело гауссовых чисел определяется обычным образом[7]:
Говорят, что гауссово число делится (нацело) на гауссово число , если существует третье гауссово число такое, что . Обозначение: . |
Произношение: один из трёх равносильных вариантов.
- делится на ;
- делит ;
- — делитель .
Используются традиционные термины: делимое или кратное ( ), делитель ( ) и частное от деления ( ). Количество делителей гауссова числа всегда конечно, количество кратных бесконечно.
Пример: число 2 делится нацело на , потому что .
Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются тривиальными[9].
Деление нацело в по своим свойствам похоже на аналогичное деление целых чисел. Некоторые специфические для гауссовых чисел особенности[8][7]:
- Если гауссово число делится нацело на обычное целое число, то на это целое число делятся как вещественная, так и мнимая часть .
- Если и , то эти числа ассоциированы.
- Если , то любое из 3 чисел, ассоциированных с , делится на любое из 3 чисел, ассоциированных с .
- Если делится на , то сопряжённое к делимому число делится на сопряжённое к делителю .
- Все делители гауссова числа являются также делителями его нормы .
- Норма гауссова числа чётна тогда и только тогда, когда это число делится на .
- Если , то и норма делимого, в силу мультипликативности, делится нацело на норму делителя. При этом:
Геометрическое представление делимости
правитьУ каждого гауссова числа есть 4 кратных с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само и ассоциированные с ним 3 числа, которые получаются последовательным умножением на :
Но умножение на означает на комплексной плоскости поворот радиус-вектора числа на 90° против часовой стрелки, причём модуль результата будет тем же. Таким образом, все 4 числа образуют равносторонний крест (выделен красным на рисунке), центр и вершины которого кратны . Последовательно сдвигая этот крест во все стороны на одну из 4 величин, ассоциированных с , мы получаем на всей плоскости квадратную решётку, все узлы которой (вершины квадратов) кратны . Обратно, любое кратное совпадает с одним из узлов решётки. Ширина каждого квадрата решётки равна . Далее для краткости эта решётка будет называться «решёткой кратных» (или, если требуется уточнение, « -решёткой кратных»).
Пример: на рисунке одним из узлов решётки является число , кратное :
- .
Простые гауссовы числа
правитьПростое гауссово число — ненулевое число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами[10].
Некоторые свойства простых гауссовых чисел:
- Если — простое гауссово число, то противоположное и сопряжённое к нему гауссовы числа тоже являются простыми.
- Если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем по крайней мере одного из сомножителей.
- Норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с , всегда нечётна и поэтому имеет вид .
Натуральное простое число может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в уже не простые:
Разложение гауссовых чисел с нормой от 2 до 100 на простые гауссовы множители см. в таблице Факторизация гауссовых чисел.
Взаимно простые числа
правитьЕсли гауссово число является делителем для двух гауссовых чисел и , оно называется их общим делителем. Множество общих делителей двух чисел всегда содержит 4 делителя единицы; если других общих делителей нет, эти числа называются взаимно простыми[11].
Отметим, что если нормы гауссовых чисел взаимно просты как целые числа, то и сами числа взаимно просты как гауссовы числа. Обратное неверно: нормы взаимно простых гауссовых чисел могут иметь общие делители — например, и взаимно просты, но их нормы совпадают и поэтому не взаимно просты.
Укажем два свойства, аналогичные свойствам целых чисел.
- Если каждое из двух гауссовых чисел взаимно просто с гауссовым числом то и их произведение тоже взаимно просто[11] с .
- Если и при этом взаимно просто с , то[12] .
Критерий Гаусса
правитьГаусс указал определяющие признаки простого числа в [13].
Гауссово число является простым тогда и только тогда, когда:
|
Примеры простых гауссовых чисел:
- к первой части критерия: ;
- ко второй части критерия: .
Некоторые источники для большей ясности разделяют вторую часть критерия на две[14]:
- Числа, ассоциированные с . Их норма равна 2.
- Числа, норма которых есть простое натуральное число вида .
Сам Гаусс такого разделения не делал[15].
Следствия:
- Никакое простое натуральное число вида не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида являются и простыми гауссовыми числами.
- Норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа[16].
- Простое натуральное число вида можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел или, что то же самое, как сумму квадратов . Этот факт известен как Теорема Ферма — Эйлера. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа. Обратно, если простое натуральное число представимо в виде суммы натуральных квадратов, то в оно составное и разлагается на два сопряжённых гауссовых простых[17].
- Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа[17]. Это значит, что разлагая натуральные простые на гауссовы множители, получаются все гауссовы простые.
Разложение на простые множители
правитьВ имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей[1][18].
Пример: . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: так что однозначность не нарушается.
Чтобы практически разложить гауссово число на простые множители, можно использовать приведённое выше свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к числу.
Таким образом, начать следует с разложения нормы числа на простые натуральные множители[19].
- Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые делится нацело.
- Кроме 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму , но и само . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число . Отсюда вытекает, что множитель вида входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого — в степени, вдвое меньшей.
- Множитель вида можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.
Например, для разложения на простые множители (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: . По предыдущему, . При этом делится только на и не делится на . Частное от деления на равно поэтому окончательный результат:
- .
Теория сравнений
правитьСравнения по гауссовому модулю
правитьПонятие сравнения по модулю определяется в аналогично тому, как это делается для целых чисел[20]:
Пусть — некоторое гауссово число. Два гауссовых числа называются сравнимыми по модулю , если разность делится (нацело) на . Запись: . |
Свойства сравнений в в основном такие же, как у целых чисел. Отношение сравнимости есть отношение эквивалентности, поэтому разбивается на непересекающиеся классы вычетов — каждый такой класс содержит все сравнимые друг с другом (по заданному модулю) гауссовы числа. Для классов, как в случае целых чисел, можно определить сложение и умножение, так что получается кольцо вычетов по гауссову модулю.
Пример. Возьмём в качестве модуля сравнения . Тогда разбивается на два класса вычетов: числа , у которых одинаковой чётности, попадут в один класс (содержащий кратные для модуля), а числа с разной чётностью — в другой.
У гауссова сравнения имеются некоторые особенности. Например, если для целых чисел по модулю 3 существуют 3 класса вычетов с представителями то для гауссовых чисел по тому же модулю количество классов значительно больше. Их представители:
Как обнаружил Гаусс, кольцо вычетов по модулю содержит элементов[20]. Этот факт вынуждает модифицировать некоторые классические теоремы. Например, малая теорема Ферма для целых чисел утверждает, что делится на для любого простого и натурального . Для гауссовых чисел это неверно, даже если ограничиться натуральными значениями ; например, для целых чисел всегда делится на 3, а для гауссовых , и это значение на 3 не делится. Модифицированный аналог малой теоремы Ферма формулируется следующим образом[20]:
Для простого гауссова числа и любого гауссова числа
делится на .
На том же примере с результат: — делится на 3.
Назовём класс вычетов по модулю содержащий число обратимым, если сравнение имеет решение относительно . Класс обратим тогда и только тогда, когда гауссовы числа и взаимно просты[20]. В частности, если модуль сравнений — гауссово простое число, то каждый ненулевой класс вычетов имеет обратный элемент, а это значит, что классы вычетов по простому модулю в , как и в образуют поле.
Функция Эйлера для гауссовых чисел
правитьВведём аналог функции Эйлера для гауссовых чисел. Определение для целых чисел не годится хотя бы потому, что содержащееся в нём выражение «от до » не имеет смысла для комплексных чисел. Новое определение[20]:
Функция Эйлера для гауссова числа определяется как число обратимых классов вычетов по модулю . |
Определённая таким образом функция, как и её прототип для целых чисел, мультипликативна, поэтому достаточно знать её значения для простых чисел и их натуральных степеней. Если — простое гауссово число, то[20]:
Пример: .
Теперь можно обобщить приведённую в предыдущем разделе малую теорему Ферма на случай произвольного (не обязательно простого) модуля сравнения, то есть привести аналог теоремы Эйлера[20]:
Если гауссово число взаимно просто с модулем , то: |
Геометрическое представление сравнения по модулю
правитьРассмотрим для примера сравнения по модулю . Как сказано в разделе о геометрическом представлении делимости, можно разбить комплексную плоскость на квадраты так, что узлы этой решётки (вершины квадратов) представляют всевозможные комплексные кратные . Тогда, по определению, числа сравнимы по модулю , если их разность совпадает с одним из узлов решётки кратных.
Каждый квадрат решётки получается из любого другого квадрата сдвигом (переносом) на величину, кратную поэтому разность любой точки квадрата и результата её сдвига тоже кратна . Отсюда следует окончательный вывод[20]:
Гауссовы числа сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда они занимают одно и то же относительное положение в своих квадратах решётки кратных. |
Например, сравнимы все центры квадратов, или все середины их соответствующих сторон и т. п.
Деление с остатком
правитьОпределение
правитьВ кольце можно определить деление с остатком (на любое ненулевое гауссово число), потребовав, чтобы норма остатка была меньше нормы делителя[21]:
Любое гауссово число можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число , то есть представить в виде: где частное и остаток — гауссовы числа, причём . |
В качестве частного от деления с остатком можно взять гауссово число, ближайшее к частному от обычного деления комплексных чисел[22].
Условия «норма остатка меньше нормы делителя» недостаточно для того, чтобы гарантировать однозначность остатка от деления, поэтому в остаток неоднозначен. Например, можно разделить на тремя способами:
Можно гарантировать только то, что все остатки попадают в один класс вычетов по модулю делителя. Впрочем, похожая ситуация имеет место и для обычных целых чисел — например, разделить с остатком 8 на 3 можно двумя способами: или (оба остатка по модулю меньше делителя) поэтому в арифметике целых чисел введено дополнительное условие, обеспечивающее однозначность операции: остаток должен быть неотрицательным.
Пример. Для деления с остатком на вначале находится частное от обычного комплексного деления:
Ближайшее к результату гауссово число есть тогда остаток равен . В итоге:
Для гауссовых чисел имеет место аналог китайской теоремы об остатках, поскольку она доказывается с помощью алгоритма Евклида.
Геометрическое представление
правитьИз определения деления с остатком на следует, что , то есть модуль остатка есть расстояние между комплексными числами и . Другими словами, есть расстояние от делимого до одного из узлов -решётки кратных. Требование «норма остатка меньше нормы делителя» эквивалентно условию . Отсюда вытекает:
Деление с остатком на имеет столько решений, сколько узлов -решётки кратных находится от делимого на расстоянии меньше . |
В вышеприведённом примере деления на ближайшими к делимому являются кратные делителя, образующие вершины квадрата решётки, содержащего делимое:
Все они находятся от делимого на расстоянии меньше, чем . Четвёртая вершина квадрата удалена от делимого больше чем на . Поэтому данная задача деления с остатком имеет три решения.
В общем случае, проведя из вершин квадрата -решётки кратных дуги радиусом мы получим фигуру, показанную на рисунке. Если делимое находится в центральной области (красная зона), оно удалено от всех вершин менее чем на и деление с остатком может быть выполнено четырьмя способами. Если делимое находится в одном из «лепестков» (синяя зона), то одна из вершин отпадает, и число решений равно трём. Для белой зоны получаем два решения. Наконец, если делимое совпадает с одной из вершин, то остаток равен нулю, и решение единственно.
Наибольший общий делитель
правитьКольцо гауссовых чисел является евклидовым, и в нём всегда можно определить наибольший общий делитель, определённый однозначно с точностью до делителей единицы[23].
Наибольшим общим делителем НОД для гауссовых чисел и , хотя бы одно из которых ненулевое, называется их общий делитель, который делится на любой другой общий делитель и . |
Эквивалентное определение: НОД есть тот общий делитель , у которого норма максимальна[24].
Свойства НОД
- Если известен некоторый НОД, то любое из трёх чисел, ассоциированных с ним, также будет НОД. В частности. если один из НОД — делитель единицы, то такими же будут и остальные три НОД.
- Гауссовы числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД есть делитель единицы.
- Имеет место аналог соотношения Безу[25]:
Пусть — гауссовы числа, и хотя бы одно из них не нуль. Тогда существуют такие гауссовы числа , что выполняется соотношение:
|
- Другими словами, наибольший общий делитель двух гауссовых чисел можно всегда представить как линейную комбинацию этих чисел с гауссовыми коэффициентами.
- Следствие соотношения Безу[25]: если гауссовы числа взаимно просты, то уравнение относительно имеет решение в . Вместо 1 в приведённом уравнении может стоять любой другой делитель единицы, теорема при этом останется верной.
Алгоритм Евклида и практическое вычисление НОД
правитьДля определения НОД в удобно использовать алгоритм Евклида, вполне аналогичный применяемому для целых чисел. НОД получается в этой схеме как последний ненулевой остаток[26]. Алгоритм Евклида можно также использовать для нахождения коэффициентов в соотношении Безу[20].
Пример 1. Найдём НОД для и .
- Шаг 1: (разделили с остатком первое число на второе)
- Шаг 2: (разделили с остатком предыдущий делитель на остаток предыдущего шага)
- Шаг 3: (то же действие)
- Шаг 4: (то же действие, деление выполнилось нацело)
Отметим, что на каждом шаге норма остатка монотонно уменьшается. Последний ненулевой остаток равен , это делитель единицы, поэтому заключаем, что исследуемые числа взаимно просты.
Пример 2. Найдём НОД для и .
- Шаг 1:
- Шаг 2:
- Шаг 3: (деление выполнилось нацело)
Последний ненулевой остаток равен , это и есть искомый НОД. Последовател��но подставляя вместо левых частей равенств правые (начиная с предпоследнего равенства, снизу вверх), получается соотношение Безу для НОД:
Некоторые приложения
правитьГаусс использовал открытую им алгебраическую структуру для глубокого исследования биквадратичных вычетов. Можно указать и другие области успешного применения гауссовых чисел[27]. Примечательно, что значительная их часть относится к теории не комплексных, а натуральных чисел.
Разложение натуральных чисел на сумму двух квадратов
правитьИз критерия Гаусса можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, причём единственным способом. Пример: .
вытекает, что простое натуральное число видаРазложение натуральных чисел другого вида не всегда возможно — например, и другие числа вида нельзя представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Составные числа могут также иметь более одного варианта разложения, например[27]: . Общая теорема: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении все простые множители вида входят в чётных степенях[17].
Пример: нельзя представить в виде суммы квадратов, потому что число 3 (как и 7) входит в него с нечётной степенью. Но представить можно: .
Подсчёт числа представлений в виде суммы двух квадратов
правитьЧисло представлений натурального числа в виде суммы квадратов (или, что то же самое, число гауссовых чисел с нормой ) можно определить следующим образом[28]. Разложим на простые натуральные множители:
Здесь — множители вида а — множители вида . Тогда возможны 3 случая.
- Если хотя бы один показатель степени нечётный, число не может быть представлено в виде суммы квадратов.
- Пусть все чётные. Окончательная формула зависит от чётности . Если все они тоже чётные, то формула имеет вид:
- Если не все чётные, то формула немного отличается:
Теория пифагоровых троек
правитьПифагорова тройка — это одно из целочисленных решений уравнения:
- .
Общее решение уравнения зависит от двух целых параметров :
- .
Для генерации пифагоровых троек можно использовать такой приём. Пусть — произвольное гауссово число, у которого обе компоненты ненулевые. Возведя это число в квадрат, получается некоторое другое гауссово число . Тогда тройка будет пифагоровой[27].
Пример: для исходного числа получается пифагорова тройка .
Решение диофантовых уравнений
правитьРешение многих диофантовых уравнений удаётся найти, если привлечь аппарат гауссовых чисел. Например, для уравнения несложные преобразования дают два типа целых взаимно простых решений[29], зависящих от целых параметров :
В 1850 году Виктор Лебег, используя гауссовы числа, исследовал уравнение и доказал его неразрешимость в натуральных числах. Другими словами, среди натуральных чисел вида нет ни одного полного куба или иной степени выше второй[27].
Нерешённые проблемы
править- Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы . В эквивалентной формулировке эта тема известна как «проблема круга Гаусса» в геометрии чисел[30][31].
- Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие[32].
- Вопрос, известный под названием «ров Гаусса»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена[33].
Вариации и обобщения
правитьЕщё одним исторически важным евклидовым кольцом, похожим по свойствам на целые числа, стали «целые числа Эйзенштейна».
Гауссовы рациональные числа, обозначаемые — это комплексные числа вида , где — рациональные числа. Это множество замкнуто относительно всех 4 арифметических операций, включая деление, и поэтому является полем, расширяющим кольцо гауссовых чисел.
История
правитьВ 1820-х годах Карл Фридрих Гаусс исследовал биквадратичный закон взаимности, результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832). Именно в этом труде целые комплексные числа доказали свою полезность для решения задач теории чисел, хотя формулировка этих задач никак не связана с комплексными числами. Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики»[3].
В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Автор описал четыре делителя единицы, определил отношение ассоциированности, понятие простого числа, дал критерий простоты и доказал аналоги основной теоремы арифметики, малой теоремы Ферма. Далее Гаусс подробно рассмотрел вычеты по комплексному модулю, индексы и первообразные корни. Главным достижением построенной теории стал биквадратичный закон взаимности, который Гаусс обещал доказать в следующем томе; этот том так и не был опубликован, но в рукописях Гаусса была обнаружена подробная схема строгого доказательства[3].
Гаусс использовал введённые им числа также и в других своих трудах, например, по алгебраическим уравнениям[34]. Идеи Гаусса были развиты в трудах Карла Густава Якоба Якоби и Фердинанда Готтхольда Эйзенштейна. В середине XIX века Эйзенштейн, Дирихле и Эрмит ввели и исследовали обобщённое понятие целого алгебраического числа.
Кольцо гауссовых целых чисел было одним из первых примеров алгебраической структуры с непривычными свойствами. Со временем было открыто большое количество структур такого типа, а в конце XIX века появилась абстрактная алгебра, изучающая алгебраические свойства отдельно от объектов-носителей этих свойств.
Примечания
править- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1977.
- ↑ Гаусс К. Ф., 1959, с. 655—754.
- ↑ 1 2 3 Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей, 1978, с. 88—92.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 146.
- ↑ Айерлэнд К., Роузен М., 1987, с. 23.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 27—28.
- ↑ 1 2 3 4 Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 147—149.
- ↑ 1 2 3 Окунев Л. Я., 1941, с. 29.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 32.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 150.
- ↑ 1 2 Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 155.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 156.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 41, 44.
- ↑ A classification of gaussian primes, с. 10.
- ↑ Гаусс К. Ф., 1959, с. 698.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 158.
- ↑ 1 2 3 Conrad, Keith, Глава 9.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 33—34.
- ↑ Conrad, Keith, Глава 6.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith, Глава 7.
- ↑ Conrad, Keith, Глава 3.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 30—31.
- ↑ Окунев Л. Я., 1941, с. 35—36.
- ↑ Conrad, Keith, Глава 4.
- ↑ 1 2 Conrad, Keith, Глава 5.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 153—155.
- ↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith, Глава 8.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 164—166.
- ↑ Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 162—163.
- ↑ Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
- ↑ последовательность A000328 в OEIS
- ↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3rd ed. — New York: Springer, 1996. — ISBN 0-387-94457-5.
- ↑ Guy Richard K. Unsolved problems in number theory. — 3rd ed. — New York: Springer, 2004. — P. 55—57. — ISBN 978-0-387-20860-2.
- ↑ Hardy G. H., Wright E. M., 1968, с. 189.
Литература
править- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
- Алфутова Н. Б, Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 с. — ISBN 978-5-94057-550-4.
- Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
- Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
- Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I.
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.
- Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
- Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14—22.
- Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers (англ.). — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 p.
Ссылки
править- Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (англ.). Дата обращения: 11 сентября 2013. Архивировано из оригинала 14 июня 2006 года.
- Butler, Lee A. A classification of gaussian primes (англ.). Дата обращения: 16 января 2017.
- Conrad, Keith. The gaussian integers (англ.). Дата обращения: 11 сентября 2013.
Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии. |