Rozbicie zbioru

Rozbicie zbioru, podział zbioru, partycja zbioru^[1] – każda rodzina $\{A_{t}\colon t\in T\}$ podzbiorów ustalonego zbioru $A$ spełniająca trzy warunki – podzbiory te^[2]:

są niepuste,
$\forall _{t\in T}A_{t}\neq \varnothing ;$
są parami rozłączne,
$A_{i}\neq A_{j}\implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ;$
sumują się do danego zbioru,
$A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.$

Elementy podziału, czyli podzbiory $A_{t}$ wyżej zdefiniowanej rodziny, nazywa się niekiedy klasami rozbicia^[2].

Liczba sposobów podziału skończonego zbioru $n$ -elementowego wyraża się $n$ -tą liczbą Bella, $B_{n}.$ Jeśli zbiór ma $\kappa$ elementów, to istnieje $2^{\kappa }$ możliwych podziałów tego zbioru. Innymi słowy, zbiór podziałów zbioru $Z$ jest równoliczny ze zbiorem potęgowym ${\mathcal {P}}(Z)$ zbioru $Z.$ ^{[potrzebny przypis]}

Przykłady

Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest podzbiór pusty, to jedynie pusta rodzina zbiorów może być rozbiciem zbioru pustego. Niekiedy wyklucza się tę możliwość w definicji.

Podział zbioru jednoelementowego składa się jednego elementu: tego właśnie zbioru.

Istnieją dwa podziały zbioru $\{1,2\},$ mianowicie rodzina złożona ze zbioru $\{1,2\}$ (podział jednoelementowy) oraz rodzina składająca się ze zbiorów $\{1\},\{2\}$ (podział dwuelementowy).

Trójelementowy zbiór $\{a,b,c\}$ można podzielić na jeden z pięciu sposobów:

${\big \{}\{a,b,c\}{\big \}},$
${\big \{}\{a\},\{b,c\}{\big \}},$
${\big \{}\{a,b\},\{c\}{\big \}},$
${\big \{}\{a,c\},\{b\}{\big \}},$
${\big \{}\{a\},\{b\},\{c\}{\big \}}.$

Zobacz też

Przypisy

↑ Relacje równoważności, funkcje, [w:] LudomirL. Newelski LudomirL., Wstęp do matematyki, 29 sierpnia 2006 .
↑ ^a ^b Gleichgewicht 2004 ↓, s. 270.

Bibliografia

Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.

Linki zewnętrzne

JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Dzielenie figur, „Delta”, sierpień 2009, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Dzielenie figur raz jeszcze, „Delta”, wrzesień 2009, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
Decomposition (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].

[1] Relacje równoważności, funkcje, [w:] LudomirL. Newelski LudomirL., Wstęp do matematyki, 29 sierpnia 2006 .

[CITEREFGleichgewicht2004270-2] Gleichgewicht 2004 ↓, s. 270.

[1]