Pokrycie zbioru

Pojęcie pokrycia często jest używane w kontekście topologii^[1].

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$  jest przestrzenią topologiczną.

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{X}}$  nazywa się pokryciem otwartym, gdy każdy element ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$  jest zbiorem otwartym, tj.

${\displaystyle \bigwedge _{C\in {\mathcal {C}}}\;C\in \tau .}$ 

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq 2^{X}}$  nazywa się pokryciem domkniętym, gdy każdy element ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$  jest zbiorem domkniętym, tj.

${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\;X\setminus D\in \tau .}$ 

Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},{\mathcal {B}}=(B_{t})_{t\in T}}$  będą pokryciami zbioru ${\displaystyle X.}$ 

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$  jeśli

${\displaystyle \bigwedge _{s\in S}\bigvee _{t_{s}\in T}A_{s}\subseteq B_{t_{s}}.}$ 

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=(A'_{s})_{s\in S'}}$  nazywa się podpokryciem pokrycia ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S},}$  jeśli

${\displaystyle S'\subset S\wedge [s\in S'\Rightarrow A_{s}'=A_{s}].}$ 

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{s})_{s\in S}}$  nazywa się skończonym, jeśli ${\displaystyle S}$  jest zbiorem skończonym (typowo wówczas ${\displaystyle S=\{1,2,\dots n\}}$  dla pewnego naturalnego ${\displaystyle n}$ ).

• podział zbioru
• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona