Potencjał

Jeżeli dla danego pola wektorowego ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$  istnieje pole skalarne ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}}),}$  takie że w każdym punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$  jego gradient jest równy wektorowi danego pola ze zmienionym zwrotem:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi ({\vec {r}}),}$ 

to pole ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$  nazywamy polem potencjalnym, a ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$  jego potencjałem.

Definicja potencjału skalarnego nie określa go jednoznacznie, bo dodanie do ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$  jakiejkolwiek wielkości stałej C nie wpływa na wektor ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}}).}$  Gdy trzeba pozbyć się tej dowolności, wprowadza się dodatkowy warunek określający wartość stałej ${\displaystyle C}$ ^[1] .

Dla różnych pól sił fizycznych otrzymuje się różne postacie funkcji określającej potencjał.

Pole wektorowe posiada potencjał, jeżeli jego rotacja zeruje się w każdym punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$  pola:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\vec {0}}.}$ 

Jeżeli pole wektorowe jest polem sił i to niezmiennym w czasie oraz takim, że istnieje potencjał ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$ 

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi ({\vec {r}}),}$ 

to wielkość ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$  nazywana jest energią potencjalną ciała w położeniu ${\displaystyle {\vec {r}}.}$ 

Potencjalne pola sił niezależnych od czasu są polami zachowawczymi, co oznacza, że energia mechaniczna (tj. suma energii kinetycznej i potencjalnej) ciała przemieszczającego się w polu potencjalnym nie ulega zmianie, mimo że energia potencjalna i kinetyczna ciała mogą przemieniać się jedna w drugą w trakcie ruchu. Przykładem jest ruch planety czy komety po orbicie eliptycznej wokół Słońca: gdy kometa zbliża się do Słońca, to jej energia potencjalna maleje, ale rośnie energia kinetyczna – kometa przyspiesza; podczas oddalania się od Słońca zachodzi proces odwrotny.

Pola grawitacyjne, elektrostatyczne, pole sił sprężystych mają zerujące się rotacje. Jednak np. pole magnetyczne jest polem wirowym – dla tego pola nie da się wprowadzić potencjału.

Jeżeli dane pole wektorowe ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$  ma zerującą się rotację, to istnieje potencjał dla tego pola. Potencjał w dowolnym punktcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$  oblicza się jako całkę krzywoliniową po dowolnej krzywej ${\displaystyle L({\vec {r}},{\vec {r}}_{0})}$  łączącej punkt ${\displaystyle {\vec {r}}}$  z ustalonym dowolnie punktom odniesienia ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}{:}}$ 

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=\int \limits _{L({\vec {r}},{\vec {r}}_{0})}{\vec {A}}({\vec {r}})d{\vec {r}}.}$ 

Wynika stąd, że w punkcie odniesienia ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$  potencjał zeruje się (wybór tego punktu jest dowolny, gdyż bez względu na ten wybór otrzymuje się to samo pole sił ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ ).

Każde pole centralne jest polem potencjalnym. Przykładami są pole grawitacyjne, elektrostatyczne lub sił sprężystych: siła ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$  działająca na ciało umieszczone w punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$  pola jest skierowana w stronę jednego punktu, zwanego centrum pola (porównaj rysunek obok).

Potencjał ${\displaystyle \varphi (r)}$  pola centralnego zależy jedynie od odległości ${\displaystyle r}$  od centrum pola. Jeżeli środek układu współrzędnych znajduje się w centrum pola sił ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}}),}$  to siłę odlicza się jako pochodną potencjału, tj.

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\frac {d\varphi (r)}{dr}}{\frac {\vec {r}}{r}}.}$ 

Polami potencjalnymi rozważanymi w fizyce są np. pole grawitacyjne czy pole elektryczne. Zazwyczaj za punkt odniesienia do obliczania potencjału (tj. punkt, w którym potencjał wynosi zero) przyjmuje się nieskończoność. W elektrotechnice i elektronice punktem odniesienia jest Ziemia, przewód ochronny, czy wydzielony fragment obwodu nazywany masą.

• Inna spotykana definicja potencjału pola elektrycznego to stosunek energii potencjalnej ${\displaystyle E_{p}}$  ładunku próbnego ${\displaystyle q}$  umieszczonego w tym punkcie, do wartości tegoż ładunku ${\displaystyle q}$ ^[2] [3] :

${\displaystyle \varphi _{E}={\frac {E_{p}}{q}}.}$ 

• Niekiedy potencjał pola elektrycznego w punkcie „P” definiuje się również jako stosunek pracy ${\displaystyle W}$  wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku ${\displaystyle q}$  z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku (definicja ta z góry zakłada zero potencjału elektrycznego w nieskończoności):

${\displaystyle \varphi _{P}={\frac {W_{P\to \infty }}{q}}.}$ 

• Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola elektrycznego ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})}$  jest pole skalarne ${\displaystyle \varphi _{E}({\vec {r}}),}$  takie że:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi _{E}({\vec {r}}).}$ 

Jednostką potencjału pola elektrycznego jest wolt (V). Bardzo często używa się też pojęcia napięcia elektrycznego będącego różnicą potencjałów w dwóch punktach.

Pole siły sprężystej (harmonicznej) określone jest wzorem

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-k{\vec {r}}.}$ 

Pole to jest polem centralnym, gdyż wektory sił są skierowane równolegle do wektorów ${\displaystyle {\vec {r}},}$  zaczepionych w centrum siły. Potencjał (który ma sens energii potencjalnej) określa wzór

${\displaystyle \varphi _{S}(r)={\frac {kr^{2}}{2}}.}$ 

Potencjał ten jest kulistosymetryczny.

Jeżeli siła sprężysta jest określona w jednym wymiarze, ${\displaystyle F(x)=-kx,}$  to potencjał wyraża wzór

${\displaystyle \varphi _{S}(x)={\frac {kx^{2}}{2}}.}$ 

Potencjał pola prędkości ośrodka ciągłego jest przykładem potencjału niemającego bezpośredniego związku z energią. Wprowadza się go w mechanice ośrodków ciągłych by otrzymać opis ruchu niezależny od wyboru układu odniesienia^[4].

W przepływie bezwirowym płynu nielepkiego pole prędkości ośrodka ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})}$  można opisać przez jej potencjał ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}}){:}}$ 

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi ({\vec {r}}).}$ 

Przepływ dla którego można określić potencjał pola prędkości nazywa się przepływem potencjalnym.

Prędkość w powyższym wzorze oznacza prędkość ośrodka w ustalonym punkcie przestrzeni (podejście Eulera), a nie prędkość ustalonego punktu ośrodka poruszającego się w przestrzeni (częściej stosowane podejście Lagrange’a).

• Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem natężenia pola grawitacyjnego ${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})}$  jest pole skalarne ${\displaystyle \varphi _{g}({\vec {r}}),}$  takie że:

${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi _{g}({\vec {r}}).}$ 

• W sąsiedztwie punktu materialnego o masie ${\displaystyle M}$  lub sferycznie symetrycznej masy ${\displaystyle M}$ ^[1] 

${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}},}$ 

gdzie ${\displaystyle G}$  jest stałą grawitacyjną. Pole grawitacyjne jest wtedy centralne, a jego potencjał wynosi

${\displaystyle \varphi _{g}(r)=-{\frac {GM}{r}}.}$ 

• czteropotencjał
• energia potencjalna
• potencjał wektorowy

• David Halliday, Robert Resnick: Podstawy fizyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003. ISBN 83-01-14076-3.
• Andrzej Januszajtis: Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-01665-5.
• Jay Orear: Fizyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1990. ISBN 83-204-0994-2.
• Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989. ISBN 83-01-07012-9.