Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako [1].
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora
-
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
-
gdzie:
-
- – tensor metryczny,
- – zwężenie formy objętości z rot(F).
Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich
edytuj
W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc
-
- Notacja macierzowa
W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
-
gdzie są wersorami osi układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
-
Rotacja w innych układach współrzędnych
edytuj
W układzie współrzędnych walcowych[2]:
-
W układzie współrzędnych sferycznych[2]:
-
W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:
-
Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:
-
-
- rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
-
-
- rotacja z rotacji pola wektorowego
-
- każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.
- Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].