Rotacja

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla ${\displaystyle \nabla }$  i wektora ${\displaystyle \mathbf {F} {:}}$ 

${\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}$ 

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

${\displaystyle d(G\circ F)=i_{\operatorname {rot} (F)}\Omega ,}$ 

gdzie:

${\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),}$ 

${\displaystyle g}$  – tensor metryczny,

${\displaystyle i_{\operatorname {rot} (F)}\Omega }$  – zwężenie formy objętości ${\displaystyle \Omega }$  z rot(F).

W kartezjańskim układzie współrzędnych ${\displaystyle F=[F_{x},F_{y},F_{z}]}$  mamy więc

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}$ 

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}$ 

gdzie ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$  są wersorami osi ${\displaystyle x,y,z}$  układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$ 

W układzie współrzędnych walcowych^[2]:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}$ 

W układzie współrzędnych sferycznych^[2]:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}$ 

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.}$ 

Oznaczając przez ${\displaystyle F,G}$  pola wektorowe, przez ${\displaystyle f}$  pole skalarne dla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  zachodzą następujące własności:

• rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

${\displaystyle \nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,}$ 

• rotacja gradientu jest zerowa

${\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,}$ 

• rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,}$ 

• rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}$ 

• rotacja z rotacji pola wektorowego ${\displaystyle F{:}}$ 

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,}$ 

• każde pole o zerowej rotacji ${\displaystyle (\nabla \times F=0)}$  można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ${\displaystyle F=-\nabla V}$ ); zob. twierdzenie Helmholtza.

•   Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].