벡터 다발

위상수학 및 미분기하학에서 벡터 다발(영어: vector bundle)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.^[1][2][3]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 위상환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$ 위의 위상 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{K}V}$
• 올다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}$
• 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 올 ${\displaystyle E_{x}=\pi ^{-1}(x)}$ 위의 ${\displaystyle K}$-위상 왼쪽 가군 구조

만약 ${\displaystyle X}$가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ 및 위상 동형 사상들의 족

${\displaystyle \left(\phi _{i}\colon U\times V\to \pi ^{-1}(U)\right)_{i\in I}}$

를 가질 수 있다면, 올다발 ${\displaystyle (X,E,\pi )}$를 올 ${\displaystyle V}$의 왼쪽 가군 다발(-加群-, 영어: left module bundle)이라 한다.

임의의 ${\displaystyle i\in I}$ 및 ${\displaystyle x\in U_{i}}$에 대하여 ${\displaystyle \phi _{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi _{i}(x,v)}$는 ${\displaystyle V}$와 올 ${\displaystyle E_{x}}$ 사이의 ${\displaystyle K}$-위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다.

위와 같은 구조 ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})_{i\in I}}$를 ${\displaystyle E}$의 국소 자명화(局所自明化, 영어: local trivialization)라고 한다. 그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 오른쪽 가군 다발(-加群-, 영어: right module bundle)을 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle K}$가 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 위상환 ${\displaystyle K}$가 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 벡터 다발이라 한다.

만약 ${\displaystyle K}$가 위상체이며 ${\displaystyle V=K}$일 경우, 올이 ${\displaystyle K}$인 벡터 다발을 선다발(線다발, 영어: line bundle)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle V}$가 바나흐 공간일 경우 올이 ${\displaystyle V}$인 벡터 다발을 바나흐 다발(영어: Banach bundle)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 힐베르트 다발(영어: Hilbert bundle)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 국소 볼록 벡터 다발(영어: locally convex vector bundle)을 정의할 수 있다.

미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$
• 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 매끄러운 올다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}$
• 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 올 ${\displaystyle E_{x}=\pi ^{-1}(x)}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 실수 벡터 공간 구조

만약 ${\displaystyle X}$가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ 및 미분 동형 사상들의 족

${\displaystyle \left(\phi _{i}\colon U\times \mathbb {R} ^{n}\to \pi ^{-1}(U)\right)_{i\in I}}$

를 가질 수 있다면, 올다발 ${\displaystyle (X,E,\pi )}$를 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 벡터 다발(-vector-, 영어: smooth vector bundle)이라 한다.

임의의 ${\displaystyle i\in I}$ 및 ${\displaystyle x\in U_{i}}$에 대하여 ${\displaystyle \phi _{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi _{i}(x,v)}$는 ${\displaystyle V}$와 올 ${\displaystyle E_{x}}$ 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$와 위상환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle X}$ 위의 두 ${\displaystyle K}$-왼쪽 가군 다발 ${\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}$ 사이의 가군 다발 사상(加群-寫像, 영어: module bundle morphism) ${\displaystyle f\colon E\to E'}$은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f}$로 정의되는 함수 ${\displaystyle E_{x}\to E'_{x}}$는 ${\displaystyle K}$-위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 ${\displaystyle K}$-가군 준동형이다).

마찬가지로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}$ 사이의 매끄러운 벡터 다발 사상(-vector-寫像, 영어: smooth vector bundle morphism)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.

위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또�� 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 같은 위상환 ${\displaystyle K}$에 대한 왼쪽 가군 다발 ${\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 직합 ${\displaystyle E\oplus E'}$을 정의할 수 있다. 각 ${\displaystyle x\in X}$에서 ${\displaystyle E\oplus E'}$의 올은 다음과 같다.

${\displaystyle (E\oplus E')_{x}=E_{x}\oplus E'_{x}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며, ${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle E'}$이 매끄러운 벡터 다발이라면 ${\displaystyle E\oplus E'}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 같은 가환 위상환 ${\displaystyle K}$에 대한 가군 다발 ${\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 텐서곱 ${\displaystyle E\otimes _{K}E'}$을 정의할 수 있다. 각 ${\displaystyle x\in X}$에서 ${\displaystyle E\otimes _{K}E'}$의 올은 다음과 같다.

${\displaystyle (E\otimes _{K}E')_{x}=E_{x}\otimes _{K}E'_{x}}$

만약 ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며, ${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle E'}$이 매끄러운 벡터 다발이라면 ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }E'}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 위상체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 다발 ${\displaystyle E}$의 쌍대 벡터 다발(雙對vector다발, 영어: dual vector bundle) ${\displaystyle E^{*}}$는 각 올이 ${\displaystyle E}$의 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다.

${\displaystyle E_{x}^{*}=(E_{x})'}$

만약 ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며, ${\displaystyle E}$가 매끄러운 벡터 다발이라면 ${\displaystyle E^{*}}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의, 위상체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 핵과 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)

벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속인 코쥘 접속이라는 구조를 정의할 수 있다.

위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 위상 K이론이라는 환으로 분류된다.

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, ${\displaystyle X\times V}$는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$이 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$ 위에 연관 벡터 다발이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 위의 ${\displaystyle K}$-벡터 다발의 개념은 ${\displaystyle K}$-위상 벡터 공간의 개념과 동치이며, 한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

• 그라스만 다양체
• 코쥘 접속
• 특성류
• 피카르 군
• 선다발(flux, 선속)

• “Vector bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Line bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Module bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Direct sum of vector bundles”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of vector bundles”. 《nLab》 (영어). 
• “Dual vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Real vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Complex vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Line bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Banach bundle”. 《nLab》 (영어).