텐서곱

환론에서 텐서곱(영어: tensor product)은 두 쌍가군 또는 가군 또는 결합 대수에 대하여 정의할 수 있는 이항 연산이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-결합 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle (A,B)}$-쌍가군 (=${\displaystyle A\otimes _{K}B^{\operatorname {op} }}$-왼쪽 가군) ${\displaystyle _{A}M_{B}}$
• ${\displaystyle (B,C)}$-쌍가군 (=${\displaystyle B\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }}$-왼쪽 가군) ${\displaystyle _{B}N_{C}}$

그렇다면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 ${\displaystyle (A,C)}$-쌍가군이다.

1. 곱집합 ${\displaystyle M\times N}$ 위의 자유 ${\displaystyle (A,C)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{A}X_{C}}$를 생각하자.
2. ${\displaystyle X}$ 위에서 다음과 같은 이항 관계 ${\displaystyle \sim _{0}}$로 생성되는, ${\displaystyle (A,C)}$-쌍가군의 합동 관계 ${\displaystyle \sim }$를 생각하자.
   ${\displaystyle (m,n)+(m',n)\sim _{0}(m+m',n)\qquad (m,m'\in M,\;n\in N)}$
   ${\displaystyle (m,n)+(m,n')\sim _{0}(m,n+n')\qquad (m\in M,\;n,n'\in N)}$
   ${\displaystyle a(m,n)\sim _{0}(am,n)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)}$
   ${\displaystyle (m,n)c\sim _{0}(m,nc)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)}$
   ${\displaystyle (mb,n)\sim _{0}(m,bn)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)}$
3. ${\displaystyle (A,C)}$-쌍가군 ${\displaystyle X/{\sim }}$을 생각하자. 이를 텐서곱 ${\displaystyle M\otimes _{B}N}$이라고 한다.

다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

• 만약 ${\displaystyle K=A=C=\mathbb {Z} }$라면, ${\displaystyle M_{B}}$은 ${\displaystyle B}$-오른쪽 가군이며, ${\displaystyle _{B}N}$은 ${\displaystyle B}$-왼쪽 가군이다. 이 경우, ${\displaystyle B}$-오른쪽 가군과 ${\displaystyle B}$-왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(=${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$-쌍가군)이다.
• 만약 ${\displaystyle K=A=B=C}$라면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle K}$-가군이다. 이 경우, 두 ${\displaystyle K}$-가군의 텐서곱은 ${\displaystyle K}$-가군이다.
  • 특히, 만약 ${\displaystyle K}$가 체일 때, 두 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 텐서곱은 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이다.
  • 특히, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다.
• 만약 ${\displaystyle K=B}$가 체이며, ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$가 군이며, ${\displaystyle A=K[G]}$, ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }=K[H]}$(즉, ${\displaystyle K}$계수 군환)이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$은 각각 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$의 표현이며, 이 경우 ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 ${\displaystyle A\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }=K[G\times H]}$-왼쪽 가군을 이룬다. 즉, ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 직접곱 ${\displaystyle G\times H}$의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 외부 텐서곱(영어: external tensor product)이라고 한다.
  • 특히, 위의 경우에서 만약 ${\displaystyle G=H}$라면, 대각 사상 ${\displaystyle G\to G\times G}$를 통해, ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 ${\displaystyle G}$의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 텐서곱이라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-결합 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$

그렇다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 둘 다 ${\displaystyle K}$-가군이므로, 텐서곱 ${\displaystyle A\otimes _{K}B}$를 정의할 수 있으며, 이는 ${\displaystyle K}$-가군을 이룬다. 그런데, 이 경우 ${\displaystyle A\otimes _{K}B}$는 자연스럽게 ${\displaystyle K}$-결합 대수의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle (a\otimes _{K}b)(a'\otimes _{K}b')=(aa')\otimes _{K}(bb')}$

이에 따라, ${\displaystyle K}$-결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히,

• 텐서곱은 결합 법칙을 따른다.
• 텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군 ${\displaystyle K}$이다.

또한, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$는 닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의 ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \hom _{K}(M\otimes N,P)\cong \hom _{K}(M,\hom _{K}(N,P))}$

 이 부분의 본문은 Tor 함자입니다.

텐서곱 함자의 유도 함자를 Tor 함자라고 한다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 두 유한 차원 자유 가군

${\displaystyle M=K^{\oplus m}}$

${\displaystyle N=K^{\oplus n}}$

${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다.

${\displaystyle M\otimes _{K}N=K^{\oplus (mn)}}$

즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다.

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 

• “Tensor product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Module tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Vector space tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “External tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Representation tensor product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Tensor product of modules”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of vector spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of abelian groups”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of algebras”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of abelian groups”. 《Groupprops》 (영어). 
• Armstrong, John (2007년 4월 6일). “Tensor products of abelian groups”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).