표준 편차

확률 변수 X의 기댓값 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ 를 ${\displaystyle \mu }$ 라 하자. 이 때 모집단 X의 표준편차 ${\displaystyle \sigma _{X}}$ 는 다음과 같이 정의한다.^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} [-2\mu X]+\operatorname {E} \left[\mu ^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}\end{aligned}}}$ 

유도과정에서 기댓값의 성질이 사용되었다. 표준편차는 분산의 제곱근과 같은 의미를 가진다.

경중률이 동일한 경우 표본 내의 어떤 변인 x가 가지는 모집단에서 표본(sample)의 표준편차의 추정치 s는 다음과 같다.

${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n-1}}}}$ 

${\displaystyle s}$  : 표본의 표준편차

${\displaystyle x}$  : 변인

${\displaystyle {\overline {x}}}$  : 표본의 평균

${\displaystyle n}$  : 표본의 크기

${\displaystyle \nu }$  : 잔차

분모를 n-1로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 모집단의 편의 추정량(biased estimator)이 되므로, 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다.^[4] n-1을 자유도(degree of freedom)라고 본다.^[5]

경중률을 w라 할 때, ${\displaystyle \Sigma w=n}$ 인 경우에는 표본(sample) 표준편차 s를 다음과 같이 구한다.^[4]

${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{n-1}}}}$ 

• 편차
• 표준 점수
• 평균편차
• 68-95-99.7 규칙(경험적인 규칙)
• 표준오차
• 절대편차
• 공분산
• 변이 가설 (variability hypothesis)
• 분산